【正文】 ) 2nnn n n n na a C C C a a? ? ? ? ? ? ? 110( ) 2 nnnS a a ??? ? ? ?。 證法 2： 當(dāng) 11x? ? ? 時(shí) , 2 1 2 ( 1 ) 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 2( ) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2 1n n n k n k nn n n nF x x n C x n C x n k C x C x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) x0 時(shí) , ( ) 0Fx? ? ,所以 ()Fx在 [0,1]上為增函數(shù) 。 又因?yàn)?xk+1=xk(2－ xk)=－ (xk－ 1)2+1≤ 12, 所以 xk+1∈ (0, 2)，故當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論也成立 . 由①、②可知，對(duì)于任意的 n∈ N*，都有 xn∈ (0,2)。 點(diǎn)評(píng) ：本題主要考查了等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，不等式的證明方法，考查了分析推理、理性思維能力及相關(guān)運(yùn)算能力等。 命題 1 中未考慮各項(xiàng)都為 0 的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 第 14 頁 共 23 頁 命題 2 中可知 an+1=an179。 為證｛ ｝不是等比數(shù)列只需證 c22≠ c1178。 當(dāng) a1=3 時(shí) ， a3=13， a15=73， a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴ a1≠3； 當(dāng) a1=2 時(shí) ,， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 , ∴ a1=2, ∴ an=5n－ 3。 q178。 （ 2）答案： b1b2? bn＝ b1b2? b17－ n（ n＜ 17， n∈ N*）； 解：在等差數(shù)列｛ an｝中，由 a10＝ 0，得 a1＋ a19＝ a2＋ a18＝?＝ an＋ a20－ n＝ an＋ 1＋ a19－ n＝ 2a10＝ 0， 所 以 a1＋ a2＋?＋ an＋?＋ a19＝ 0，即 a1＋ a2＋?＋ an＝－ a19－ a18－?－ an＋ 1， 又∵ a1＝－ a19， a2＝－ a18，?， a19－ n＝－ an＋ 1 ∴ a1＋ a2＋?＋ an＝－ a19－ a18－?－ an＋ 1＝ a1＋ a2＋?＋ a19－ n， 若 a9＝ 0，同理可得 a1＋ a2＋?＋ an＝ a1＋ a2＋ a17－ n， 相應(yīng)地等比數(shù)列｛ bn｝中，則可得： b1b2? bn＝ b1b2? b17－ n（ n＜ 17， n∈ N*）。n2+(2lg2+27lg3) 3． 等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果 na 是等 比 數(shù)列的第 n 項(xiàng)， ma 是等差數(shù)列的第 m項(xiàng)，且 nm? ，公 比 為 q ，則有 mnmn qaa ?? ； ②對(duì)于 等比 數(shù)列 ??na ，若 vumn ??? ，則 vumn aaaa ??? ， 也就 是 ：???????? ?? 23121 nnn aaaaaa ，如圖所示： ???? ????? ?? ??? ???? ?? ?nnaanaann aaaaaa?????112, 12321 。 解法 2：設(shè)插入的 n 個(gè)數(shù)為 nxxx , 21 ? ， 1,110 ??? ? nxnx n nnxxxxxx nnn 112110 ???????? ?? ? nn xxxT ???? ?21 nnnnn nnxxxxxxT )1()()()( 11212 ?????? ? ? 2)1( nn nnT ??? 。 第 19 頁 共 23 頁 （Ⅲ）解：由 a2k－ 1＝ a2（ k－ 1）－ 1＋ 2， a1＝ 0，及 a2k＝ a2（ k－ 1） ＋ 2， a2＝ 3 得 a2k－ 1＝ 2（ k－ 1）， a2k＝ 2k＋ 1， k＝ 1， 2， 3，?，即 an＝ n＋（－ 1） n， n＝ 1， 2， 3，?。 q A2＝ 1178。 解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為 a， aq， aq2； 則 2(aq+4)=a+aq2，且 (aq+4)2=a(aq2+32)； 解得 a=2， q=3 或 a=92， q=－ 5； 故所求的等比數(shù)列為 2， 6,18 或92，－910，950。 ［ 2n＋ 3n－ p（ 2n－ 1＋3n－ 1）］， 即［（ 2－ p） 2n＋（ 3－ p） 3n］ 2 ＝［（ 2－ p） 2n＋ 1＋（ 3－ p） 3n＋ 1］［（ 2－ p） 2n－ 1＋（ 3－ p） 3n－ 1］， 第 15 頁 共 23 頁 整理得 61 （ 2－ p）（ 3－ p）178。 3．等比中項(xiàng) 如果在 ba與 中間插入一個(gè)數(shù) G ，使 bGa , 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 ba與 的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。 （ Ⅱ ）方法 1 由（ 1）得，（ 5n8） Sn+1(5n+2)Sn=20n8, ① 所以 (5n3)Sn+2(5n+7)Sn+1=20n28, ② ② ① ,得 , (5n3)Sn+2(10n1)Sn+1+(5n+2)Sn=20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=20.④ ④ ③ ,得 (5n+2)Sn+3(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1(5n+2)Sn=0. 因?yàn)? an+1=Sn+1Sn 所以 (5n+2)an+3(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因?yàn)? (5n+2) 0? , 所以 an+32an+2+an+1=0, 即 an+3an+2=an+2an+1, 1?n . 又 a3a2=a2a1=5, 第 11 頁 共 23 頁 所以數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 （Ⅲ）若 b 的值使得 xn0， n∈ N* 由 xn+1=xn(3－ b－ xn), n∈ N*, 知 0xn3－ b, n∈ N*, 特別地，有 0x13－ b. 即 0b3－ x1。 11()() (1)kkkfxfx f ???,其中 ( , )k n n k N???,設(shè) 0 2 1 2 2 201( ) ( ) ( ) .. . ( ) .. . ( )knn n n k n nF x C f x C f x C f x C f x? ? ? ? ? ?, ? ?1,1x?? 。 ① 又 S nC n C C Cn nn nn n n? ? ? ? ? ??3 3 1 3 01 1 0( ) ? 178。 （ 3）代換法。 預(yù) 測(cè) 20xx 年高考對(duì)本將的考察為： 1．可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題； 2．也可能為一道知識(shí)交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。nnn cba ?? , 其中 ??nb 是等差數(shù)列， ??nc 是等比數(shù)列，記nnnnn cbcbcbcbS ?????? ?? 112211 ，則 1 2 1 1n n n n nqS b c b b c??? ? ? ? ? ?，? ⑥并項(xiàng)求和 把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 Sn。 題型 2：錯(cuò)位相減法 例 3． 設(shè) a 為常數(shù)，求數(shù)列 a， 2a2， 3a3，?， nan，?的前 n 項(xiàng)和 。 例 8． 求數(shù)列 1， 3＋ 13， 32＋ 132， …… ， 3n＋ 13n的各項(xiàng)的和 。 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。 若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第 n 項(xiàng)，記 an1=A（ A≠ 0） ，則自第 n 項(xiàng)開始 ，沒三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 O， A， A，即 331320, 0 , 1 , 2 , 3 ,nknknkaa A kaA??????????????… … 所以絕對(duì) 等差數(shù)列 {an}中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān) 系。若 {an}是等比數(shù)列，則12aa =a，即 baaa ??)1( =a，所以只有當(dāng) b=－ 1 且 a≠ 0 時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。 由 S3+S6=2S9，得q qaqqaqqa ???????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 ，整理得 q3（ 2q6－ q3－ 1）=0，由 q≠ 0，得 2q6－ q3－ 1=0，從而（ 2q3＋ 1）（ q3－ 1） =0，因 q3≠ 1，故 q3=－ 21 ，所以 q=－ 243 。 qn＋ 1＝ 2 得 qn＋ 1＝ 2， 第 18 頁 共 23 頁 An＝ q178。 第 20 頁 共 23 頁 ∵ S2n≠2Sn ， ∴ q≠1； 從而 ? ?1 11naqq??=80， 且 21(1 )1naqq??=6560。 第 22 頁 共 23 頁 解析： (Ⅰ )依題意可知 ：???????????????????323581191 12121qaqaqa， (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 知 , 1323?????????nna， 所以數(shù)列 )2(T 的的首項(xiàng)為 221 ??at , 公差312 2 ??? ad ， 15539102121010 ???????S ,即數(shù)列 )2(T 的前 10 項(xiàng)之和為 155。 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （ 1）掌握等比數(shù)列定義nnaa1? ＝ q（常數(shù)）（ n?N），同樣是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由 an178。 ∴ a1=q－ 1＞ 0 即 q＞ 1,從而等比數(shù)列｛ an｝為遞增數(shù)列，故前 n 項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第 n 項(xiàng) 。 2 ＝ An Bn＝ 23 179。 第 17 頁 共 23 頁 例 8．（ 1）（ 20xx 江蘇， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列，｛ bn｝為等比數(shù)列， a1＝ b1＝ 1， a2＋ a4＝ b3， b2b4＝ a3．分別求出｛ an｝及｛ bn｝的前 10 項(xiàng)的和 S10及 T10； （ 2）（ 20xx 全國(guó)春季北京、安徽， 20）在 1 與 2 之間插入 n 個(gè)正數(shù) a1， a2， a3??，an，使這 n＋ 2 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在 1 與 2 之間插入 n 個(gè)正數(shù) b1， b2， b3，??， bn，使這 n＋ 2 個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 .記 An＝ a1a2a3?? an， Bn＝ b1＋ b2＋ b3＋??＋ bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛ An｝和｛ Bn｝的通項(xiàng)； （Ⅱ）當(dāng) n≥ 7 時(shí)，比較 An 與 Bn 的大小，并證明你的結(jié)論。 = l63 。 由命題 3 得， a1=a－ 1，當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an=Sn－ Sn－ 1=a－ 1，顯然 {an}是一個(gè)常數(shù)列，即公差為 0 的等差數(shù)列，因此只有當(dāng) a－ 1≠ 0；即 a≠ 1 時(shí)數(shù)列 {an}才又是等比數(shù)列?？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)第 1