【正文】 命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項公式以及基本計算.14.(2020湖北卷理)已知數(shù)列 ??na滿足： 1＝ m（m 為正整數(shù)） ，1,23nna??????當(dāng) 為 偶 數(shù) 時 ，當(dāng) 為 奇 數(shù) 時 。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。（1）求 2nT和 2P；（2）求證：對任意正整數(shù) n≥2，有 1n??.【解析】 [必做題]本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。nbbn????? 成立.① 當(dāng) 1n?時,左邊= 32,右邊= ,因為 3?,所以不等式成立.② 假設(shè)當(dāng) nk?時不等式成立,即 12135721本小題滿分13分。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法， N???， 1n?與 21同號。???????K 可猜想當(dāng) ??時 ， 證明如下：證法 1：（1）當(dāng) n=3時，由上驗算顯示成立。21。（方法二）由2113,4a???得 21430,a???于是 1a?或 13?。xf，得 2cosx，給定區(qū)間 )4,0(?，則有 0)(39。46n???? 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 12 21（1）設(shè)公差為 d，則 22543aa??，由性質(zhì)得 4343()()daa???，因為 0?，所以 430?，即 10?，又由 7S得 1672d?，解得 15a?， ,(2) （方法一）12ma?= (7)253?,設(shè) 3mt??， 則 12m?= (4)86tt??, 所以 t為 8的約數(shù)（方法二）因為 12222 2(4)()86mmmaaa????????為數(shù)列 ??n中的項，故 m+28 a為整數(shù)，又由（ 1）知： 2?為奇數(shù)，所以 31,2m??即經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有 ?。答案 1519.(2020湖南卷理)將正⊿ABC 分割成 n2（ ≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖 2，圖3分別給出了 n=2,3的情形） ，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC 的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于 3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為 1,記所有頂點上的數(shù)之和為 f(n)，則有 f(2)=2，f(3)= 103，…，f(n)= 16(n+1)(n+2) 答案 10,()236n??解析 當(dāng) n=3時，如圖所示分別設(shè)各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知 121212,abcxabycza????12 212()xyzgxyzy???12126gc 即 12120(3) 3fabcxyz??而進一步可求得 45。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 【答案】C【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項 (1)2na??，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項 2nb?，則由 2nb()N??可排除 A、D，又由 (1)2na??知 na必為奇數(shù)，故選 C.6..（2020 安徽卷理）已知 ??na為等差數(shù)列， 1a+ 3+ 5=105， 246=99，以 nS表示 ??na的前 項和，則使得 S達到最大值的 n是 D. 18 【答案】 B【解析】由 1a+ 3+ 5=105得 3105,a?即 3，由 246a?=99得 439a?即4? ，∴ 2d?， 4()1n n????，由 10n??????得 2，選 B7.（2020 江西卷理）數(shù)列 {}na的通項 22(cosi)3n??，其前 項和為 nS，則30S為A． 47 B． 490 C． 495 D． 510【答案】 A【解析】由于 22{cosin}3??以 3 為周期,故2 222 23014589()(6)(30)S???????221 103151[()][]547k kk? ???????故選 A8.（2020 四川卷文）等差數(shù)列｛ na｝的公差不為零，首項 1a＝1， 2是 1和 5a的等比中項，則數(shù)列的前 10項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B【解析】設(shè)公差為 d，則 )41()(2d???.∵ ≠0 ，解得 d＝2，∴ 10S＝10二、填空題9.（2020 浙江文）設(shè)等比數(shù)列 {}na的公比 12q?，前 n項和為 nS，則 4a? ．【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式，通過對數(shù)列知識點的考查充分體現(xiàn)了通項公式和前 項和的知識聯(lián)系．答案 15解析 對于4 4314413(),15()aqsqsa?????? 10.（2020 浙江文）設(shè)等差數(shù)列 {}n的前 項和為 nS，則 4， 84S?， 128，162S?成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列 {}b的前 項積為 nT，則 4， ， ， 16T成等比數(shù)列．【命題意圖】此題是一個數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識，也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力答案： 8124,T解析 對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列 {}nb的前 項積為 nT，則 4， 812,T，162T成等比數(shù)列．11.（2020 北京理）已知數(shù)列 {}na滿足： 43412,0,N,nnnaa??????則209a?________； 2020=_________.答案 1，0解析 .依題意，得 20945031a???， 20410742510aa?????. ∴應(yīng)填 1，0.12..（2020 江蘇卷）設(shè) ??n是公比為 q的等比數(shù)列， |q?，令 (1,2)nba??? ，若數(shù)列 nb有連續(xù)四項在集合 ?53,219,78?中，則 6= . 答案 9解析 考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。（３）求 nb前 n項和的最小值．解： (1)由 122nSa???得 12na???, 12na??……2分∴ 1()4nad ……………………………………4分(2)∵ 3nb?,∴ 13nb?,∴ 1 13()26424n nnb???????。（－ 32） n1，于是可得Sn= .321（1）證 121,當(dāng) n?時， 1 11,()222nn nnnabab?? ?????所以 ??是以 1為首項， 為公比的等比數(shù)列。【解析】(1)由于 14as?當(dāng) 2?時, 22()[(1)()]4nnnn??????*()maN??又當(dāng) x時 16mbTb1nb?數(shù)列 ??n項與等比數(shù)列 ,其首項為 1,公比為 2()? (2)由(1)知 22116()nnCab???? 2(1)26)nC???????由21()n??得即 202?即 3n?又 3?時 2()1成立,即 1nC??由于 n恒成立. 因此,當(dāng)且僅當(dāng) n時, 1n?21.（2020 江西卷文）數(shù)列 {}na的通項 22(cosin)3n???，其前 n項和為 nS. (1) 求 nS。 9=2 25， a=1，則 1= A. 21 B. C. 2 【答案】B【解析】設(shè)公比為 q,由已知得 ??228411aqaq??,即 ?,又因為等比數(shù)列 }{na的公比為正數(shù)，所以 ?,故 21,選 B2.(2020安徽卷文）已知 為等差數(shù)列， ，則 等于A. 1 B. 1 C. 3 【解析】∵ 1350a??即 105a∴ 3?同理可得 43a?∴公差 432da??∴204()d???.選 B。23. （2020 全國卷Ⅱ理）設(shè)數(shù)列 {}na的前 項和為 ,nS 已知 1,a?142nSa?（I）設(shè) 12nnba???，證明數(shù)列 b是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列 {}的通項公式。26.（2020 湖北卷文）已知{a n}是一個公差大于 0的等差數(shù)列，且滿足 a3a6＝55, a 2+a7＝16.(Ⅰ)求數(shù)列{a n}的通項公式：（Ⅱ）若數(shù)列{a n}和數(shù)列{b n}滿足等式：a n＝ ＝ )( 正 整 數(shù)bb?，求數(shù)列{b n}的前 n項和 Sn 解（1）解：設(shè)等差數(shù)列 ??的公差為 d，則依題設(shè) d0 由 a2+a7＝ 176ad?? ①由 365,??得 1(2)5 ②由①得 1?將其代入 ②得 (3)1620d???。35???nf為 正 偶 數(shù) 時 ，當(dāng)∴ f(n)的最大值為 f(1)= ,f(n)的最小值為 f(2)= ,于是，由①式得 9a 5(λ+18), .838???ab?當(dāng) ab?3a時，由－ b18?=3a18，不存在實數(shù)滿足題目要求；當(dāng) b3a存在實數(shù) λ，使得對任意正整數(shù) n,都有 aSn2.26.（2020 北京）數(shù)列{ an}的前 n項和為 Sn，且 a1=1， 13n??， n=1，2，3，……，求 （I） a2， a3， a4的值及數(shù)列{ an}的通項公式； （II） 62?? 的值.解：（I）由 a1=1， 13nnS??，n=1，2，3，……，得23S?， 124()9a??，41236()7a，由 11()33nnnaSa????（n≥2） ，得 143nna??（n≥2） ，又 a2= ，所以 an= 24(n≥2),∴ 數(shù)列{ an}的通項公式為 21()3nn??????≥27.（2020 福建）已知{ na}是公比為 q的等比數(shù)列，且 231,a成等差數(shù)列. （Ⅰ）求 q的值；（Ⅱ）設(shè){ nb}是以 2為首項，q 為公差的等差數(shù)列，其前 n項和為 Sn，當(dāng) n≥2 時，比較 Sn與 bn的大小，并說明理由.解：（Ⅰ）由題設(shè) ,2,1113 qaa????即 .012,01????q?.21???或q（Ⅱ）若 .231)(, nnSn?????則當(dāng) .0,21????bnnn時 故 .nbS若 .49)2(,12nSqn ?????則當(dāng) ,10,21???bnn時故對于 .,1。 （1）求證： }{是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列 nc的前 n項和 Sn； （3）若 對142???m一切正整數(shù) n恒成立，求實數(shù) m的取值范圍。 若 6a＝ 1，則 m所有可能的取值為__________。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。滿分 10分。解：（I）已知 1a是奇數(shù)，假設(shè) 21kam??是奇數(shù)，其中 為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得213()4k??是奇數(shù)。 因此，對一切 n都有 a?的充要條件是 0a?或 13?。（2）假設(shè) k??時12(1)42(1)(2)(1)k kk???????g所以當(dāng) n時猜想也成立綜合（1） （2）可知 ，對一切 3n?的正整數(shù)，都有 .n證法 2：當(dāng) 3?時012101() 21nn nnn nCCCn??????????K綜上所述，當(dāng) ,時 5T?，當(dāng) 3?時 52T?31.（2020 四川卷文）設(shè)數(shù)列 ??na的前 項和為 nS，對任意的正整數(shù) ，都有51naS??成立，記 *4()1nnbN????。解（I）在 ()S?中，令 n=1，可得 1Sa??，即 12a?當(dāng) 2?時， 21 1()n nn nnnaa???， ，1a(),n??????即. 1 1, 2n nbbb? ????即 當(dāng) 時 ， . 又 12數(shù)列 ??n是首項和公差均為 1的等差數(shù)列. 于是 1()2,nn nba??????.(II)由（I）得 1()nnc?，所以2323()4()2nnT??K4111()???由①②得 23()()nnn?? 111[]41()223nnnnT? ?????55(3)21)2121nnn???????于是確定 nT與 的大小關(guān)系等價于比較 n?與 的大小由 2345。,.n naNaN?????????綜合所述，對一切 nN??都有 1a?的充要條件是 0?或 13。??，令 0)(39。滿分 14分。答案 1016.（2020 陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列 ??na的前 n項和為 ns,若 632s,則 n . 解析:由 6312as?可得 n的公差 d=2,首項 1=2,故易得 na?2n.答案:2n17.(2020陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列 ??na的前 n項和為 nS,若 6312a?,則 2limnS??? .611 223252 1()lilinnnads?????????????解 析 ：答案：118.（2020 寧夏海南卷文）等比數(shù)列{ na}的公比 0q?, 已知 2a=1， 216nna??，則{ na}的前 4項和 S= 解析 由 216na??得： 116???nnq，即 062， q?，解得：q＝2，又 2=1，所以， 12，)(44S＝ 5。類似