【正文】 =4an+2an+1– 3d3 從而 +1=4an+1+2an+2– 5d3 ， 兩式相減得 +1– =2( an+1– an) – 2d3 因此1 1 3 2 311()22n n c ca a c c d d d??? ? ? ? ? ?(常數(shù) ) ( n=1,2,3,?) 所以數(shù)列 {an}公差等差數(shù)列。滿分 14分。滿分 14分。 解：由 1 2( 1)nna a n? ? ? ?可得數(shù)列 {}na 為公差為 2的等差數(shù)列，又 1 1a? ，所以 na? 2n－1 三、解答題（共 30題） 26．（安徽卷）數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，已知 ? ?21 1 , 1 , 1 , 2 ,2 nna S n a n n n? ? ? ? ? ??? （ Ⅰ ）寫出 nS 與 1nS? 的遞推關(guān)系式 ? ?2n? ，并求 nS 關(guān)于 n 的表達式； （ Ⅱ ）設(shè) ? ? ? ? ? ?1/,nnn n nSf x x b f p p Rn ?? ? ?，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nT 。用心 愛心 專心 1 【 2022年高考試題】 一、選擇題（共 18題） 1．（北京卷）設(shè) 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N?? ? ? ? ? ? ?，則 ()fn等于 （ A） 2(8 1)7 n? （ B） 12(8 1)7 n? ? （ C） 32(8 1)7 n? ? （ D ）42(8 1)7 n? ? 2．（北京卷）如果 1， a,b,c,9成等比數(shù)列，那么 （ A） b=3,ac=9 (B)b=3,ac=9 (C)b=3,ac=9 (D)b=3,ac=9 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 ac＝（－ 1） 179。 27．（安徽卷）在等差數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ，前 n 項和 nS 滿足條 件 2 42 , 1, 2 ,1nnS n nSn????， 用心 愛心 專心 7 （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項公式； （ Ⅱ ）記 ( 0)nannb a p p??，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nT 。 （ I）解： *1 2 1( ),nna a n N? ? ? ? 1 1 2( 1),nnaa?? ? ? ? ? ?1na??是以 1 12a?? 為首項， 2為公比的等比數(shù)列。 （ II）解：由（ I）得 *1 2 ( ),nnna a n N? ? ? ? 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ... ( )n n n n na a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 12*2 2 ... 2 12 1( ).nnn nN??? ? ? ? ?? ? ? （ III）證明： 12 1114 4 ...4 ( 1 ) ,nnbbbb na??? ?? 12( ... )4 2 ,nnb b b nb? ? ??? 122 [ ( .. . ) ] ,nnb b b n n b? ? ? ? ? ? ① 用心 愛心 專心 12 1 2 1 12 [ ( .. . ) ( 1 ) ] ( 1 ) .n n nb b b b n n b??? ? ? ? ? ? ? ? ② 32．（廣東卷）已知公比為 (0 1)qq?? 的無窮等比數(shù)列 ??na 各項的和為 9，無窮等比數(shù)列 ??2na各項的和為 815. (I)求數(shù)列 ??na 的首項 1a 和公比 q ； (II)對給定的 ( 1, 2,3, , )k k n? ，設(shè) ()kT 是首項為 ka ，公差為 21ka? 的等差數(shù)列，求 (2)T的前 10 項之和； (III)設(shè) ib 為數(shù)列 ()kT 的第 i 項， 12nnS b b b? ? ? ?，求 nS ，并求正整數(shù) ( 1)mm? ，使得limnmn Sn?? 存在且不等于零 . （注：無窮等比數(shù)列各項的和即當(dāng) n?? 時該無窮等比數(shù)列前 n 項和的極限） 解 : (Ⅰ) 依題意可知 ,???????????????????323581191 12121qaqaqa (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 , 1323?????????nna, 所 以 數(shù) 列 )2(T 的 的 首 項 為 221 ??at , 公差312 2 ??? ad , 15539102121010 ???????S ,即數(shù)列 )2(T 的前 10項之和為 155. 用心 愛心 專心 13 (Ⅲ) ib = ? ?? ?121 ??? ii aia =? ? ? ?112 ??? iai i = ? ? ? ?1321231 ?????????? ii i ， ? ? ? ?2 132271845 ??????????? nnnS nn ， mnn nS??lim = ??nlim ? ?mnmm nnnnnn 2 132271845 ????????? 當(dāng) m=2時，mnn nS??lim=－ 21 ，當(dāng) m2時，mnn nS??lim=0，所以 m=2 33．（湖北卷）已知二次函數(shù) ()y f x? 的圖像經(jīng)過坐標原點，其導(dǎo)函數(shù)為 39。 【解后反思】理解公差 d的涵義，能把文字敘述轉(zhuǎn)化為符號關(guān)系式 .利用遞推關(guān)系是解決數(shù)列的重要方法 ,要求考生熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項公式及其由來 . 37．（江西卷）已知數(shù)列｛ an｝滿足： a1＝ 32 ，且 an＝ n1n13na n 2 n N2 a n 1 ???－－ （ ， ）＋－ 求數(shù)列｛ an｝的通項公式； 證明：對于一切正整數(shù) n，不等式 a1?a2???a n?2?n！ 用數(shù)學(xué)歸納法證明 3?式： n＝ 1時， 3?式顯然成立， 設(shè) n＝ k時， 3?式成立， 即2k1 1 11 1 13 3 3?（ － ）（ － ）?（ － ）?1－（2k1 1 13 3 3＋ ＋?＋） 則當(dāng) n＝ k＋ 1時， 用心 愛心 專心 17 2 k k 11 1 1 11 1 1 13 3 3 3? ? ? ＋（ － ）（ － ）?（ － ）（ － ）?〔 1－（2k1 1 13 3 3＋ ＋?＋）〕 ?（k111 3＋－） ＝ 1－（2k1 1 13 3 3＋ ＋?＋）－k113＋＋k113＋（2k1 1 13 3 3＋ ＋?＋） ?1－（2k1 1 13 3 3＋ ＋?＋＋k113＋）即當(dāng) n＝ k＋ 1時， 3?式也成立。考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。178。178。178。2 n+1 + 23 = 13179。 解：（ I）由已知得 111 , 2 ,2 nna a a n?? ? ? 2 2 13 3 1 3, 1 1 ,4 4 2 4a a a? ? ? ? ? ? ? ? 又 1 1,n n nb a a?? ? ? 1 2 1 1,n n nb a a? ? ?? ? ? 11112 1 1 1( 1 ) 11 12 2 2 .1 1 1 2n n n nn n nn n n n n n na n a n a ab a ab a a a a a a????? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 用心 愛心 專心 25 {}nb? 是以 34? 為首項，以 12 為公比的等比數(shù)列 . （ III）解法一： 存在 2?? ，使數(shù)列 {}nnSTn?? 是等差數(shù)列 . 12 121 1 13 ( ) ( 1 2 ) 22 2 2nn nS a a a n n? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? 11(1 )( 1 )22321 212n nn n? ?? ? ? ??221 3 3 33 (1 ) 3 .2 2 2 2nnn n n n??? ? ? ? ? ? ? 12 131( 1 )3 1 3 342 ( 1 ) .1 2 2 2 212nnn nnT b b b ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 數(shù)列 {}nnSTn?? 是等差數(shù)列的充要條件是 ,(nnST An B An?? ??、 B 是常數(shù) ) 即 2 ,nnS T An Bn?? ? ? 又 213 3 3 33 ( )2 2 2 2nn nnnnST?? ??? ? ? ? ? ? ? ?2 313 (1 ) (1 )2 2 2nnn ??? ? ? ? ?當(dāng)且僅當(dāng) 102???，即 2?? 時，數(shù)列 {}nnSTn?? 為等差數(shù)列 . 用心 愛心 專心 26 47． (陜西卷 ) 已知正項數(shù)列 {an}，其前 n項和 Sn滿足 10Sn=an2+5an+6且 a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列 {an}的通項 an . 解析：解 : ∵10 Sn=an2+5an+6， ① ∴10 a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2或 a1=3． 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥2) ， ② 由 ① － ② 得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1)，即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 ， ∴ an－ an－ 1=5 (n≥2) ． 當(dāng) a1=3 時， a3=13， a15=73． a1， a3， a15不成等比數(shù)列 ∴ a1≠3 。滿分 14分。已知最底層正方體的棱長為 2，且改塔形的表面積 (含最底層正方體的底面面積 )超過 39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是 ( C) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。,10。 證明如下： 因為 bn+1＝ a2n+1－ 41 =21 a2n－ 41 =21 (a2n－ 1－ 41 )=21 bn, (n∈ N*) 所以 {bn}是首項為 a－ 41 , 公比為 21 的等比數(shù)列 178。滿分 14分。滿分 12分。 43．（全國 II）設(shè)數(shù)列｛ an｝的前 n項和為 Sn，且方程 x2－ anx－ an＝ 0有一根為 Sn－ 1， n＝ 1，2， 3， ? ． （ Ⅰ ）求 a1， a2； （ Ⅱ ）｛ an｝的通項公式． 解： (Ⅰ) 當(dāng) n＝ 1時， x2－ a1x－ a1＝ 0有一根為 S1－ 1＝ a1－ 1， 于是 (a1－ 1)2－ a1(a1－ 1)－ a1＝ 0，解得 a1＝ 12． 當(dāng) n＝ 2時， x2－ a2x－ a2＝ 0有一根為 S2－ 1＝ a2－ 12， 于是 (a2－ 12)2－ a2(a2－ 12)－ a2＝ 0，解得 a1＝ 16． (Ⅱ) 由題設(shè) (Sn－ 1)2－ an(Sn－ 1)－ an＝ 0， Sn2－ 2Sn＋ 1－ anSn＝ 0． 當(dāng) n≥2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1，代入上式得 Sn－ 1Sn－ 2Sn＋ 1＝ 0 ① 由 (Ⅰ) 知 S1＝ a1＝ 12， S2＝ a1＋ a2＝ 12＋ 16＝ 23． 由 ① 可得 S3＝ 34． 由此猜想 Sn＝ nn＋ 1， n＝ 1， 2， 3， ? ． ??8 分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論． (i)n＝ 1時已知結(jié)論成立． (ii)假設(shè) n＝ k時結(jié)論成立，即 Sk＝ kk＋ 1， 用心 愛心 專心 23 當(dāng) n＝ k＋ 1時，由 ① 得 Sk＋ 1＝ 12－ Sk，即 Sk＋ 1＝ k＋ 1k＋ 2， 故 n＝ k＋ 1時結(jié)論也成 立． 綜上，由 (i)、 (ii)可知 Sn＝ nn＋ 1對所有正整數(shù) n都成立． ??10 分 于是當(dāng) n≥2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ nn＋ 1－ n－ 1n ＝ 1n(n＋ 1)， 又 n＝ 1時， a1＝ 12＝ 11179。4 n－ 1= 4n, n=1,2,3, ?, 因而 an=4n－ 2n, n=1,2,3, ?, (Ⅱ) 將 an=4n－ 2n代入 ① 得 Sn= 43179。178。178。178。100 xfxfxxfxxfx A， B， C (I)求 的值ox (II)若 ⊿ABC 有一邊平行于 x軸，且面積為 32? ，求 a,d 的值 【解析】 (I)解 : 2b a c?? 22( ) 2 ( ) ( 1 ) ( )f x a x b x c a x a c x c x a x c?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ( ) 0fx? ? ,得 1 cxxa?? ??或 0, 00adabc??? ? ? ? 1, 1ccaa? ? ? ? ? 當(dāng) 1c xa? ? ?? 時 , ( ) 0fx? ? 。 35．（湖南卷）在 m（ m≥2 ）個不同數(shù)的排列 P1P2? Pn中，若 1≤ i＜ j≤ m 時 Pi＞ P