歷年高考理科數(shù)列真題匯編附答案解析(存儲(chǔ)版)
【正文】 3.【2014年廣東卷（理13）】若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 。 (II) . (II) 由(I)得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，兩式相減得，整理得 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.15.【2015高考重慶，理22】【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由于，因此把已知等式具體化得，顯然由于，則（否則會(huì)得出），從而，所以是等比數(shù)列，由其通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）本小題是數(shù)列與不等式的綜合性問(wèn)題，數(shù)列的遞推關(guān)系是可變形為,由于，因此，于是可得，即有，又，于是有，這里應(yīng)用了累加求和的思想方法，由這個(gè)結(jié)論可知，因此，這樣結(jié)論得證，本題不等式的證明應(yīng)用了放縮法.(1)由,有若存在某個(gè)，使得，則由上述遞推公式易得，重復(fù)上述過(guò)程可得，此與矛盾，所以對(duì)任意,.從而，即是一個(gè)公比的等比數(shù)列.故.求和得另一方面，由上已證的不等式知得綜上：16.【2015高考四川，理16】【答案】（1）；（2）10.【解析】（1）由已知，有，即.從而.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即.所以，解得.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故.（2）由（1）得.所以.由，得，即.因?yàn)椋?于是，使成立的n的最小值為10.17.【2015高考湖北，理18】【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.. ②①②可得，故. 18.【2015高考陜西，理21】【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，證明見(jiàn)解析．【解析】試題分析：（I）先利用零點(diǎn)定理可證在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，再利用函數(shù)的單調(diào)性可證在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而利用是的零點(diǎn)可證；（II）先設(shè)，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論來(lái)判斷與的大小，進(jìn)而可得和的大?。囶}解析：（I），則所以在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故.(II)解法一：由題設(shè)，所以，即.綜上所述，當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)解法二 由題設(shè)，當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.當(dāng)時(shí), 所以成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立，即.那么，當(dāng)時(shí)，.又令，則所以當(dāng),在上遞減；當(dāng),在上遞增.所以，從而，不等式也成立.所以，對(duì)于一切的整數(shù)，都有.解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，所以,令當(dāng)時(shí), ,所以.當(dāng)時(shí), 而，所以，.若，當(dāng)，從而在上遞減，所以當(dāng)又，故綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).19.【2015高考新課標(biāo)1，理17】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）所以=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，所以數(shù)列{}前n項(xiàng)和為= =.20.【2015高考廣東，理21】【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析．【解析】（1）依題，∴ ；（2）依題當(dāng)時(shí)，∴ ，又也適合此式，∴ ，∴ 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故；（3）依題由知，【2015高考上海，理22】【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）【解析】解：（1）由，得，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)公式為，.證明：（2）由，得.所以為常數(shù)列，即.因?yàn)?，所以，?故的第項(xiàng)是最大項(xiàng).解：（3）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)，符合上式.所以.因?yàn)?，所以?①當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，不存在最大、最小值；②當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，而；③當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值，最小值，由及，得.綜上，的取值范圍是.8.【2014年湖南卷（理20）】解：（1）因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，而，因此 ，又，成等差數(shù)列，所以，因而，解得或， 但當(dāng)時(shí)，與是遞增數(shù)列相矛盾，故. (2) 由于是遞增數(shù)列，因而 ，于是 ① 且 ，所以 ② 則①②可知，因此， ③因?yàn)槭沁f減數(shù)列，同理可得，故， ④由③④即得 . 于是 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為9.【2014年全國(guó)大綱卷（18）】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，從而有若，此時(shí)不成立若，數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，隨著的增大而增大，也不滿足當(dāng)時(shí)，數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，要使，則須滿足即，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以此時(shí)（2）由（1）可得所以.10.【2014年山東卷（理19）】解：（I）解得
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