【正文】 7 8 9 1 0 ,a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則 10a? 505 。 【反饋演練】 1．若 數(shù)列 ??na 前 8項(xiàng)的值各異，且 8nnaa? ? 對(duì)任意 n∈ N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍 ??na 前 8項(xiàng)值的數(shù)列為 （ 2） 。 分析： 本題第 1問采用構(gòu)造等比數(shù)列來求通項(xiàng)問題，第 2問依然是構(gòu)造問題。 解：依題意得， 3 2,n nnS ??即 232n nnS ??。 （ 2）這個(gè)數(shù)列的前 5項(xiàng)是 2, 7, 10 , 11 , 10? ? ? ? ?；（圖象略） （ 3）由函數(shù) 2( ) 8 5f x x x? ? ?的單調(diào)性： ( ,4)?? 是減區(qū)間， (4, )?? 是增區(qū)間， 所以當(dāng) 4n? 時(shí)， na 最小，即 4a 最小。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 }{na 滿足 )(13 3,0 *11 Nnaaaa nnn ????? ?，則 20a = 3? 。 函 數(shù) 數(shù) 列 一般數(shù)列 通項(xiàng) 前 n 項(xiàng) 和 特殊數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項(xiàng)公式 中項(xiàng)性質(zhì) 前 n 項(xiàng)和公式 公式 通項(xiàng)公式 中項(xiàng)性質(zhì) 前 n 項(xiàng)和公式 公式 分析 :由 a1=0, )(13 31 ?? ???? Nnaaa nnn得 ?????????? ,0,3,3 432 aaa 由此可知 : 數(shù)列 }{na 是周期變化的 ,且三個(gè)一循環(huán) ,所以可得 : .3220 ??? aa 2．在數(shù)列 {}na 中，若 1 1a? ， 1 2( 1)nna a n? ? ? ?，則該數(shù)列的通項(xiàng) na? 2n1 。 點(diǎn)評(píng)： 該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬，要注重函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列的問題有時(shí)非常方便。 當(dāng) n≥ 2時(shí)， ? ? 22( 3 2 ) 3 1 2 ( 1 ) 6 51na n n n n nnnSS ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???。 解：（ I） *1 2 1( ),nna a n N? ? ? ? 1 1 2( 1),nnaa?? ? ? ? ? ?1na??是以 1 12a?? 為首項(xiàng)， 2為公比的等比數(shù)列。 （ 1） ? ?21ka? （ 2） ? ?31ka? （ 3） ? ?41ka? （ 4） ? ?61ka? 2．設(shè) Sn是數(shù)列 ??na 的前 n項(xiàng)和，且 Sn=n2，則 ??na 是 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 。 6． 數(shù)列 ??na 中，已知 2 1 ()3n nna n N ?????， （ 1）寫出 10a ， 1na? ，2na； （ 2） 2793 是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？ 解：（ 1）∵ 2 1 ()3n nna n N ?????， ∴ 10a 210 10 1 10933????， 1na? ? ? ? ?2 21 1 1 3133nn nn? ? ? ? ????， 2na ? ?222 421 133nn nn?? ????； （ 2）令 2793 2 13nn??? ， 解方程得 15, 16nn? ??或 ， ∵ nN?? ，∴ 15n? ， 即 2793 為該數(shù)列的第 15 項(xiàng)。 3． 設(shè) ??na 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 1 2 3 15a a a? ? ? ， 1 2 3 80aaa ? ，則 11 12 13a a a? ? ?105。 解：（ 1）答案： 13 法 1：設(shè)這個(gè)數(shù)列有 n項(xiàng) ∵??????????????????????dnnnaSdndaSSSdaSnnn2)1(6332233113313 ∴???????????????39 02)1(14 6)2(3334)(3111dnnnandada ∴ n＝ 13 法 2：設(shè)這個(gè)數(shù)列有 n項(xiàng) ∵ 1 2 3 1 23 4 , 1 4 6n n na a a a a a??? ? ? ? ? ? ∴ 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 4 1 4 6 1 8 0n n n na a a a a a a a??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 1 60naa?? 又 1()3902 nn a a? ? ∴ n＝ 13 （ 2）答案： 2 因?yàn)榍叭?xiàng)和為 12，∴ a1＋ a2＋ a3＝ 12，∴ a2＝ 33S ＝ 4 又 a1 例 2．（ 1）已知數(shù)列 ))}1({log *2 Nna n ?? 為等差數(shù)列，且 .9,3 31 ?? aa （Ⅰ）求數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明 .111112312 ?????????? ? nn aaaaaa 分析 ：（ 1）借助 .9,3 31 ?? aa 通過等差數(shù)列的定義求出數(shù)列 ))}1({log *2 Nna n ?? 的公差，再求出數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式，（ 2）求和還是要先求出數(shù)列 }1{1 nn aa ??的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求和。 （ 1）證明： ??nb 從第 2項(xiàng)起是以 2為公比的等比數(shù)列； （ 2）設(shè) nS 為數(shù)列 ??nb 的前 n項(xiàng)和，且 ??nS 是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù) a 的值。 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。 4．如果 1, , , , 9abc??成等比數(shù)列，則 b? 3 ， ac? 9 。 （ 5）裂項(xiàng)相消法：把一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前 n項(xiàng)之和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和。 解：（ 1）由 *1( 1 ) ( 2 1 ) ( , 0 )nnt S t S n N t?? ? ? ? ? ?得： 1( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 )nnt S t S n?? ? ? ? ? 兩式相減得： 1 ( 2 1) , ( 2 )nnt a t a n?? ? ? ? 即 1 2 1 12 , ( 2)nna t na t t? ?? ? ? ?, ∴數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列 ( 2)n? 。 解：（Ⅰ）12)1(1???? nnn aa?， ])1(1)[2()1(1 11?? ???????nnnn aa， 又 3)1(11 ???a?， ?數(shù)列 ? ??????? ?? nna11 是首項(xiàng)為 3 ，公比為 2? 的等比數(shù)列． 1)2(3)1(1 ????? nnna， 即 123 )1(11??????nnna. （Ⅱ） 12649)123( 1121 ???????? ??? nnnnb ． 9264321 )21(1641 )41(19 ????????????????? nnS nnnnn ． （Ⅲ） 1)1(2 )12(s in ???? nn ??， 123 1)1()2(3 )1( 111?????? ??? ???nnnnnc． 當(dāng) 3?n 時(shí)，則123 1123 1123 113 1 12 ???????????? ?nnT ? ?21221121132 1])(1[281123 123 123 17141 ??????????? ??nn 7484488447612811])21(1[612811 2 ???????? ?n． 321 TTT ??? ， ?對(duì)任意的 ??Nn ， 74?nT ． 點(diǎn)評(píng)： 本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) na ，第二問分組求和法是非常常見的方法，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會(huì)放成等差、等比數(shù)列求和，或者 放縮之后可以裂項(xiàng)相消求和。 4．已知數(shù)列 }{na 中， 1 1,a? 且有 *1( 2 1 ) ( 2 3 ) ( , 2)nnn a n a n N n?? ? ? ? ?，則數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式為 3 1 1()2 2 1 2 1na nn????，前 n 項(xiàng)和為 321nn? 。 2．注意基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，構(gòu)造思想：已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。 （ 1）證明：由 02, 1221 ??? ?? nnnnnn bbaxbxxaa 的方程是關(guān)于 的兩根得： 1121 ,2 ??? ??? nnnnnnnn bbaaabaa ,2 12 ?? ??? nnnnn bbbbb 0?nb? )1(2 112 ???? ?? nbbb nnn }{nb? 是等差數(shù)列 （ 2）由（ 1）知 ,82 2121 ??? aab ,21??b nbnbbbba n ???????? 12212 ,1,3,? ∴ )1)(1(1 ???? ? nnnbba nnn 又 21?a 也符合該式， )1( ??? nnan （ 3）nn ns 2 1242322 32 ?????? ? ① 132 2 1242321 ?????? nn ns ? ② ① — ②得 1432 2 121212121121 ????????? nnn ns ? 1121211)2 11(411 ?? ?????? nn n 11 2 1)(211 ?? ???? nn n nn ns 2 33 ????. 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的構(gòu)造，數(shù)列的轉(zhuǎn)化思想，乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減法求和等。 又 21)4( ?f? ， 所以當(dāng) 4?k 時(shí) 21)( ?kf ， 又 0)3()2()1( ??? fff? ， 所以不存在 k ，使 ??????? 21,0)(kf。 2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。 2. 能用基本不等式解決綜合形較強(qiáng)的問題。 解： （ 1）分析： 由已知條件 ??Ryx， ，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有 yx? ，無法利用 xyyx 2?? ，故猜想先將所求證的式子進(jìn)行變形，看能否出現(xiàn))( 1)( yxyx ???型，再行論證． 證明： ,0 ?????? xyyxyx ?? 又 yx xyyxyx yx ? ?????? 2)(222yxyx ???? )( .22)( 2)(2 ????? yxyx等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng))( 2)( yxyx ???時(shí)． .4,2,2)( 222 ??????? yxyxyx ,6)(,1 2 ???? yxxy? .6??? yx 由以上得 2 26,2 26 ???? yx 即當(dāng)2 26,2 26 ???? yx時(shí)等號(hào)成立． 說明： 本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運(yùn)用均值不等式． （ 2） ∵ yx aa ? ≥ 81)21x(212xxyx 22 a2a2a2 ????? ?? ， 81)21x(21 2 ???≤81， 0a1 ∴ 81)21x(21 2a2 ??? ≥ 81a2 ∴ yx aa ? ≥ 81a2 ∴ )aa(log yxa ? ≤ 812lo g)a2(lo ga81a ?? 第 2 課 一元二次不等式 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 會(huì)解一