【正文】 點(diǎn)撥 ： 關(guān)鍵要明確每一目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，從而將目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為某幾何量的取值范圍 . 例 3． 本公司計(jì)劃 2020 年在甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過 300 分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過 9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為 500 元 /分鐘和 200 元 /分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為 萬元和 萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？ 分析：本例是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用題，其解題步驟是：（ 1） 設(shè)出變量，列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；（ 2）畫出可行域（ 3）觀察平行直線系 3000 2020z x y??的運(yùn)動(dòng)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值 . 解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為 x 分鐘和 y 分鐘，總收益為 z 元，由題意得3005 0 0 2 0 0 9 0 0 0 00 0 .xyxyxy???????≤ ，≤ ，≥ ， ≥ 目標(biāo)函數(shù)為 3000 2020z x y??． 二元一次不等式組等價(jià)于 3005 2 9000 0.xyxyxy???????≤ ，≤ ，≥ ， ≥ 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域． 如圖： 作直線 : 30 00 20 00 0l x y??， 即 3 2 0xy??． 平移直線 l ，從圖中可知，當(dāng)直線 l 過 M 點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 聯(lián)立 3005 2 ???? ??? ，解得 100 200xy??， ． ?點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (100200)， ． m a x 3 0 0 0 2 0 0 0 7 0 0 0 0 0z x y? ? ? ?（元） 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 例 3 答：該公司在甲電視臺做 100 分鐘廣告，在乙電視臺做 200分鐘廣告，公司的收益最大，最 大收益是 70萬元． 【反饋練習(xí)】 502xyyax? ? ??????≥ ，≥ ，≤ ≤表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則 a 的取值范圍是 57a?≤ P（ x， y）在不等式組????????????022,01,02yxyx 表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則 z＝ x－ y的取值范圍是 [－ 1，2] x 、 y 滿足約束條件5,3 2 12,0 3,0 4.xyxyxy???? ???? ???? ???則使得目標(biāo)函數(shù) 65z x y??的最大的點(diǎn) (, )xy 是 （ 2,3） ． xy， 滿足 2203xyxyy???????≥ ，≤ ，≤ ≤ ，則 2z x y??的取值范圍是 ? ?57?， A（ 3，－ 1）、 B（－ 1， 1）、 C（ 1， 3）為頂點(diǎn)的△ ABC 的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù) z=3x－ 2y的最大值和最小值 . 分析：本例含三個(gè)問 題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式 —— 不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值 解：如圖，連結(jié)點(diǎn) A、 B、 C，則直線 AB、 BC、 CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗蟆?ABC區(qū)域 直線 AB的方程為 x+2y－ 1=0， BC及 CA 的直線方程分別為 x－ y+2=0， 2x+y－ 5=0 在△ ABC內(nèi)取一點(diǎn) P（ 1， 1）， 分別代入 x+2y－ 1， x－ y+2， 2x+y－ 5 得 x+2y－ 10， x－ y+20， 2x+y－ 50 因此所求區(qū)域的不等式組為 x+2y－ 1≥ 0， x－ y+2≥ 0， 2x+y－ 5≤ 0 作平行于直線 3x－ 2y=0的直線系 3x－ 2y=t（ t為參數(shù)），即平移直線 y=23 x，觀察圖形可知：當(dāng)直線 y=23 x－ 21 t過 A（ 3，－ 1）時(shí)，縱截距－ 21 t最小新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆此時(shí) t最大， tmax=3 3－ 2（－ 1） =11；當(dāng)直線 y=23 x－ 21 t經(jīng)過點(diǎn) B（－ 1， 1）時(shí)，縱截距－ 21 t最大，此時(shí) t有最小值為 tmin= 3（－ 1）－ 2 1=－ 5 因此，函數(shù) z=3x－ 2y在約束條件 x+2y－ 1≥ 0， x－ y+2≥ 0， 2x+y－ 5≤ 0 下的最大值為 11，最小值為－ 5 。 （ 3） 求 22 yxz ?? 的最大和最小值。 2. 能運(yùn)用一元二次不等式解決綜合性較強(qiáng)的問題 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： （ 1） 23 4 4 0xx? ? ? ? （ 2） 213022xx? ? ? （ 3） ? ?? ? 21 3 2 2x x x x? ? ? ? ? （ 4） 223214 2 ??????? xx 解：（ 1）原不等式化為 23 4 4 0xx? ? ? ，解集為 2 23 x? ? ? （ 2）原不等式化為 2 2 3 0xx? ? ? ，解集為 R （ 3）原不等式化為 2 10xx? ? ? ，解集為 ? （ 4） 由2 222213 42 1 013 222 4 , ,1322 2 5 0222xx xxxx xxxx? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ???得 得 得 2 1 2 1 ,6 1 6 1xxx? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???或 ( 6 1 , 2 1 ) ( 2 1 , 6 1 )x? ? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)撥： 解一元二次不等式要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號、對應(yīng)方程 ? 的判斷、以及對應(yīng)方程兩根大小的比較 . 2. 函數(shù) )1(log 221 ?? xy的定義域?yàn)? ? ?2 , 1 1, 2?????? 3..二次函數(shù) y=ax2+bx+c(x∈ R)的部分對應(yīng)值如下表： 則不等式 ax2+bx+c0 的解集是 ),3()2,( ????? ? 02 ??? cbxx 的解集是 }13{ ??? xxx 或 ，則 b=__2____ c=__3____. 【 范例導(dǎo)析 】 例 .解關(guān)于ｘ的不等式 )1(12 )1( ???? axxa 分析： 本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論 . 解 :原不等式等價(jià)于 02 )2()1( ?? ??? x axa ∵ 1?a ∴等價(jià)于： ? ?02 121?? ??????????xaaxa （ *） a１ 時(shí)，（ *）式等價(jià)于 212????xaax0∵ 11112 ????? aaa １∴ x 12??aa 或 x２ a１時(shí)，（ *）式等價(jià)于 212????xaax0由２－ 12??aa ＝ 1?aa 知： 當(dāng) 0a１時(shí)， 12??aa ２，∴２ x 12??aa ； 當(dāng) a0時(shí)， 12??aa ２，∴ 12??aa x２ ； 當(dāng) a＝ 0時(shí)，當(dāng) 12??aa ＝２，∴ x∈φ 綜上所述可知：當(dāng) a0時(shí)，原不等式的解集為（ 12??aa ， 2）；當(dāng) a＝ 0時(shí)，原不等式的解集為φ；當(dāng) 0a１時(shí)，原不等式的解集為（ 2， 12??aa ）；當(dāng) a１時(shí)，原不等式的解集為（－∞， 12??aa ）∪（ 2，＋∞）。 3. 線性規(guī)劃問題有著豐富的實(shí)際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，對于這部分內(nèi)容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規(guī)劃問題。 例 2．設(shè)數(shù)列 ? ?? ?nn ba , 滿足 3,4,6 332211 ?????? bababa ，且數(shù)列 ? ?? ??? ?? Nnaa nn 1 是等差數(shù)列，數(shù)列 ? ?? ???? Nnbn 2 是等比數(shù)列。 5．?dāng)?shù)列 {an}滿足 a1=2，對于任意的 n∈ N*都有 an＞ 0, 且 (n+1)an2+an （ 2）1 1( ) 2nnnb f bb? ? ? ?，則有 1 2nnbb? ?? ∴ 21nbn??。 5．設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,已知 a3=12,S120,S130. (1)求公差 d的取值范圍； (2)指出 S S?、 S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由 . 解： (1)依題意有：????????????????????0212131302111212,12211311213daSdaSdaa 解之得公差 d的取值范圍為－ 724 ＜ d＜－ 3. (2)解法一：由 d＜ 0可知 a1a2a3? a12a13,因此，在 S1， S2，?， S12中 Sk為最大值的條件為： ak≥ 0且ak+1＜ 0,即??? ??? ??? 0)2( 0)3(33 dka dka ∵ a3=12, ∴??? ?? ?? 122 123dkd dkd， ∵ d＜ 0, ∴ 2－ d12 ＜ k≤ 3－ d12 ∵－ 724 ＜ d＜－ 3,∴ 27 ＜－ d12 ＜ 4,得 ＜ k＜ 7. 因?yàn)?k是正整數(shù)，所以 k=6,即在 S1， S2，?， S12中， S6最大 . 解法二 ： 由 d＜ 0得 a1a2? a12a13， 因此若在 1≤ k≤ 12 中有自然數(shù) k,使得 ak≥ 0,且 ak+1＜ 0,則 Sk 是 S1， S2，?， S12 中的最大值。 分析： 第（ 1）問用定義證明，進(jìn)一步第（ 2）問也可以求出。 a2 第 2 課 等差、等比數(shù)列 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡單的問題； 2． 理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù) 之間的關(guān)系； 3． 注意函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用。 1 2 .nna? ? ? 即 *2 1( ).nna n N? ? ? （ II） 12 1114 4 . . . 4 ( 1 ) .nnbbbb na??? ?? 12( ... )4 2 .nnb b b n nb? ? ? ??? 122 [ ( ... ) ] ,nnb b b n n b? ? ? ? ? ? ① 1 2 1 12 [ ( . . . ) ( 1 ) ] ( 1 ) .n n nb b b b n n b??? ? ? ? ? ? ? ? ② ； ② － ① ，得 112 ( 1 ) ( 1 ) ,n n nb n b n b??? ? ? ? 即 1( 1) 2 0 ,nnn b nb?? ? ? ?③ ∴ 21( 1) 2 0 .nnnb n b??? ? ? ? ④ ③ － ④ ，得 212 0 ,n n nnb nb nb??? ? ? 即 212 0,n n nb b b??? ? ? *2 1 1 ( ) ,n n n nb b b b n N? ? ?? ? ? ? ???nb? 是等差數(shù)列。 例 2．設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nSn n Nn ?? 均在函數(shù) y＝ 3x－ 2 的圖像上 ,求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。高中數(shù)學(xué) 精講精練 第五章 數(shù)列 【知識圖解】 【 方法點(diǎn)撥 】 1．學(xué)會(huì)從特殊到一般的觀察、分析、思考，學(xué)會(huì)歸納、猜想、驗(yàn)證． 2．強(qiáng)化基本量思想，并在確定基本量時(shí)注重設(shè)變量的技巧與解方程組的技巧． 3．在重點(diǎn)掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識的同時(shí)，會(huì)針對可化為等差（比）數(shù)列的