文科一輪學(xué)案97拋物線(編輯修改稿)
2025-07-04 19:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為，即|PA|＋|PF|的最小值為，此時P點縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點P的坐標(biāo)為(2,2)．引申探究將本例中點A的坐標(biāo)改為(3,4)，求|PA|＋|PF|的最小值．解 當(dāng)P、A、F共線時，|PA|＋|PF|最小，|PA|＋|PF|≥|AF|＝ ＝ ＝.變式訓(xùn)練：(1)(2015遼寧五校聯(lián)考)設(shè)拋物線x2＝12y的焦點為F，經(jīng)過點P(2,1)的直線l與拋物線相交于A，B兩點，又知點P恰為AB的中點，則|AF|＋|BF|＝________.(2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．答案 (1)8 (2)4解析 (1)分別過點A，B，P作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，Q，根據(jù)拋物線上的點到焦點的距離等于該點到準(zhǔn)線的距離，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.(2)如圖，過點B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值為4. 考點二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)命題點1 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 已知雙曲線C1：－＝1(a0，b0)：x2＝2py(p0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為( )A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)C．x2＝8y D．x2＝16y答案 D解析 ∵－＝1的離心率為2，∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝.x2＝2py的焦點坐標(biāo)為，－＝1的漸近線方程為y＝177。x，即y＝177。＝2，∴p＝＝16y.命題點2 拋物線的幾何性質(zhì)例3 過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為________．答案 解析 由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如圖所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2.設(shè)AB的方程為x－1＝ty，由消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4.∴y2＝－，x2＝，∴S△AOB＝1|y1－y2|＝. 變式訓(xùn)練：(1)(2015陜西)若拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點，則p＝________.答案 2解析 由于雙曲線x2－y2＝1的焦點為(177。，0)，故應(yīng)有＝，p＝2.(2)已知拋物線y2＝2px(p0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＋為定值；③以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．證明?、儆梢阎脪佄锞€焦點坐標(biāo)為(，0)．由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋，代入y2＝2px，得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)則y1，y2是方程(*)的兩個實數(shù)根，所以y1y2＝－p2.因為y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.②＋＝＋＝.因為x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝(定值)．③設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．考點三：直線與拋物線的綜合問題命題點1 直線與拋物線的交點問題例4 已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點．若＝0，則k＝________.答案 2解析 拋物線C的焦點為F(2,0)，則直線方程為y＝k(x－2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y化簡得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.因為＝(x1＋2，y1－2)(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，將上面各個量代入，化簡得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.命題點2 與拋物線弦的中點有關(guān)的問題例5 (2014浙江)如圖，已知△ABP的三個頂點都在拋物線C：x2＝4y上，F(xiàn)為拋物線C的焦點，點M為AB的中點，＝3.(1)若|PF|＝3，求點M的坐標(biāo)；(2)求△ABP面積的最大值．解 (1)由題意知焦點F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.設(shè)P(x0，y0)，由拋物線定義知|PF|＝y(tǒng)0＋1，得到y(tǒng)0＝2
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