【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 kkk ???? ????? ?2,1?iki ??ik 12 ??? ?????211k2k 1?2?? ? 00 ??1?2 1k2k? 中， 的取值為 ； 的取值為 。 由式（ ）可以得到方程組 2k 2,2,12Nk ??1k 2221 ,1, kNkkk ??? ?? ? ? ? ? ?2121,13 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ?3212,13 ??? ???LL? ? ? ? ? ? ? ?NNN ???? ????? 111,13? ? ? ? ? ? ? ?5323,23 ???? ???? ? ? ? ? ?4222,23 ???LL? ?NNNN ?? ?????????????? 222,23? 將以上方程組寫(xiě)成矩陣形式 ? 式中 ?? A3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?TNNN ?????? ????????? 2,23,22,21,12,11,1 33333 ?????? ??? ? ? ? ? ?? ?TN??? ?21??????????????????????????????????????10002022000000000101100000000102011000000001000000011010000000011100000000012?????????????????????????????????????A? 可以證明， 的秩等于 N1，可以消去 中與 有關(guān)的最后一行，便得到一組滿秩方程 式中， 矩陣 的維數(shù)決定于 N是奇數(shù)還是偶數(shù)。當(dāng) N是奇數(shù)時(shí)，維數(shù)為 ；當(dāng) N是偶數(shù)時(shí)，維數(shù)為 最后，通過(guò)偽逆求解，得到 A A ? ?N? ~~~ ???A ? ? ? ? ? ?? ?TN 121~ ??? ??? ?~A? ? ? ?12/ 2 ?? N? ?? ?? ? ? ?14/11 ???? NNN~~1~~~????????? ? TT AAA? (2)由 推算 式（ ）的離散形式為 定義 取 , 初值 ， 4?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3213213214 , kkkkkkkkk ?????? ????? ? ? ?lknknsnink????????,31 400?? ? ? ? ? ?? ? ? ?nnnkknnk?? 6 216110???????? ??Nn ,3,2 ??? ? 00 ??? 有 寫(xiě)成矩陣形式 式中， ? ? ? ? ? ?2122 ?? ??s ? ? ? ? ? ? ? ?361422133 ??? ???s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 2 11 1 2 2 1 6NNs N N N N N? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?LSB ?? ? ? ? ? ? ?? ?TN 121 ??? ??? ?? ? ? ? ? ?? ?TNssss ?32?LL? 且 ? 矩陣 是 的正定矩陣，對(duì)其直接求逆便得到相位譜 ????????????????????2321006142300012????????NNNNBB? ? ? ?11 ??? NN SB 1???? 基于高階譜的模型參數(shù)設(shè)計(jì) ? 引言 ? 根據(jù)已知的有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列來(lái)估計(jì)圖 信號(hào)模型的參數(shù)，稱(chēng)為模型參數(shù)估計(jì)。模型可以是 AR模型、MA模型和 ARMA模型，估計(jì)它們的參數(shù)時(shí)，要依據(jù)一定的準(zhǔn)則，例如通常比較多地采用最小均方差準(zhǔn)則。第四章討論基于自相關(guān)函數(shù)的模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。在那里，估計(jì)得到的模型參數(shù)僅與信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)或功率譜包絡(luò)相匹配，只適合于高斯隨機(jī)信號(hào)（因?yàn)楦咚惯^(guò)程僅用二階統(tǒng)計(jì)量就能夠完全加以描述）?；谧韵嚓P(guān)函數(shù)的模型參數(shù)估計(jì)存在以下幾個(gè)問(wèn)題。 ? （ 1）若要估計(jì)非高斯信號(hào)的模型參數(shù)，那么僅僅考慮與自相關(guān)函數(shù)相匹配，就不可能充分獲得隱含在數(shù)據(jù)中的信息。 ? （ 2）若信號(hào)不僅是非高斯的而且還是非最小相位的，那么采用基于自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)方法所得的模型參數(shù)，由于它只能是最小相位的，所以反映不出原信號(hào)的非最小相位的特點(diǎn)。 ? （ 3）當(dāng)測(cè)量噪聲較大，尤其當(dāng)測(cè)量噪聲是有色噪聲時(shí)，基于自相關(guān)函數(shù)方法所得的模型參數(shù)有較大的估計(jì)誤差。 ? 基于高斯譜的模型參數(shù)估計(jì)方法能夠有效地解決上述三個(gè)問(wèn)題。 ? 考慮圖 ，現(xiàn)在假設(shè)，圖中的 是平穩(wěn)非高斯白噪聲序列 ， ； 是高斯有色噪聲； 是有理傳輸函數(shù)， 其差分方程如式 ()所示。 ? ?nu? ?? ? 0?nuE ? ? ? ?121,121, ,, ?? ? kukkukC ???????? ??? ?nv ? ?zH? 將式 （ ）、式（ ）和式（ ） 合寫(xiě)成一個(gè)公式如下： ? 該式在形式上類(lèi)似于式（ ）?？紤]到 ， 是因果的，即當(dāng) 時(shí)上式右端等于零，便可從上式得到所謂高階 YuleWalker，方程如下： ， ， （ ） ? 下面分別討論基于高斯譜的 AR、 MA和 ARMA模型參數(shù)及階數(shù)的估計(jì)。對(duì)各種算法的復(fù)雜程度、抗噪能力及它性質(zhì)則不作深入討論。 ? ? ? ? ? ?njhjhbniCa kjqjukxkipi ??????? ??? ???? 20,0 0,0, ?xkyk CC , ???nhq?? ? ?? ???????? 00,0,0nhniCa ukxkipi?? ?0?? q?? AR模型參數(shù)估計(jì) ? 令 ARMA模型的差分方程式（ ）中的 ，就得到模型。這種情況下，高階 YuleWalker方程式（ ）成為 式中， 是一個(gè)取任意值的參量， 是信號(hào) 階 累量的一維“切面”，即在 中，僅有 是自變 量，其它參數(shù)均 為固定值。上式中取 個(gè)線性方程聯(lián)立，令 ，則上式可表示成 其中 0?q ? ?? ???????? 00,0,0,0,0khkiCa ukxkipi?? ?0?? ?0k ? ?0,0, 0, ?kiC xk ??k ?121, , ?kxkC ?? ?1?12 , ?k?? ? )0(1 ??? MMp Mp ??? 1,2,1 ?? ? ? 00 ?AkC ? ?TpaaA ?11?? 和 ? 矩陣 具有 Toeplitz性質(zhì)，參數(shù) 的選擇應(yīng)保證 的秩為 ，從而可解出 個(gè)變量 。但這個(gè)問(wèn)題的求解尚無(wú)一般性結(jié)論。通常為“安全”起見(jiàn)，取 個(gè)一維切面，即取 ；取 ；將對(duì)應(yīng)的線性方程聯(lián)立求解，得到 。 在常用的三階和四階累量 YuleWalker方程中，系數(shù)分別為 和 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??????????????????????????0,0,10,0,010,0,20,0,120,0,020,0,10,0,110,0,010,0,0,0,0,0,0,0,0??????????????kpMpCkMpCkpCkCkCkpCkCkCkCxkxkxkxkxkxkxkxk? ?0kC 0k ? ?0kCp p paaa , 21 ?1?p )0(,2,1 ??? MMp?? 0,0,0 ?qk ??? ?pka k ,2,1?? ?0,3 , kC x ?? ?0, 0,4 kC x ?? 由于基于累量來(lái)估計(jì) AR模型參數(shù)的方法，也歸納為求解YuleWalker方程，因此，這種方法與基于自相關(guān)函數(shù)估計(jì) AR模型參數(shù)的方法具有類(lèi)似的估計(jì)性質(zhì)，同時(shí)也同樣存在著估計(jì)的穩(wěn)定性問(wèn)題。 ? 與 AR譜估計(jì)性質(zhì)相類(lèi)似， AR過(guò)程的多譜估計(jì)與已知的多譜相匹配程度，也可以用線性預(yù)測(cè)誤差的多譜來(lái)度量，同樣也可以用多譜的平坦度來(lái)衡量。若用前 ? 個(gè) 值作線性預(yù)測(cè)（見(jiàn)式 ）即 則預(yù)測(cè)誤差為 p? ?nx ? ? ? ?knxanx kpk ???? ? 1~ ? ? ? ? ? ? ? ? 1, 00~ ?????? ? aknxanxnxne kpk? 根據(jù)式（ ）可寫(xiě)出預(yù)測(cè)誤差 的多譜為 若線性預(yù)測(cè)系數(shù) ，使得 上式中 為一常量，則有 （ ） ? 即確實(shí)是由的非正態(tài)白噪聲激勵(lì)一個(gè)參數(shù)為的 AR過(guò)程所 ??ne ? ? ? ? ? ? ? ?121,1121121, ,, ???? ?????? ??? kxkikikek SAAAS ????????? ???ka ? ? ukkekS ,121, , ???? ???uk,?? ? ? ? ? ? ?????? ??? ??? ikikukxkAAAAS