【正文】 高階累量相應(yīng)的中心矩。 ? 二階累量是方差，描述了概率分布的離散程度。 ? 定義： （無(wú)量綱） 為偏態(tài)系數(shù)，或偏態(tài)（歪斜度）。 用均方差的四次方 除四階累量，記為 Kurtosis峰度 為峰態(tài)，顯然正態(tài)分布 =0 01 ?m2244 3 mmC ??422 33 ??m4?x?344 ?? ?? mxx? x? 正態(tài)分布 比正態(tài)分布尖銳的直線 比正態(tài)分布平坦的曲線 x 0 f(x) GmmCGmmGGmmmxECkkk ?????????44433313 ])[(（正峰） 0?x?0?x?負(fù)值）(0?x?? 隨機(jī)過(guò)程的累量 ? 考慮隨機(jī)序列 的 階累量。 的 階累量 定義為累量生成函數(shù) 的泰勒級(jí)數(shù)展開式中 的系數(shù)。 },{ ,21 kxxx ?k ? ?TkxxxX ?21?ix ? ?TkvvvV ?21?ivixXkkxxxC , 21 ?? ?V?? ?kvvv , 2 ?? ? ? ?? ?XjVEV Texpln???? ? ? ?02121,2121 ,??????????? ??????knvvvkkkkxxx vvvvvvjC?? ???? 多普的定義 設(shè) 為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其 階累量 是絕對(duì)可和的，則 的 階譜 定義為 階累量的 重傅里葉變換，即 通常把 的 稱為高階譜或多譜，特別地，將三階譜 稱為雙譜，四階譜 稱為三譜。但在許多實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)的累量只能夠由測(cè)量到的有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)序列 來(lái)估計(jì)。例如均值為零的信號(hào)的三階取樣累量 ??nxh ? ?Nxxx , 21 ?xkC,xkC,?? 為 （ ） 式中， 是在區(qū)間 R內(nèi)的取樣數(shù)。 ? 累量估計(jì)的計(jì)算量比自相關(guān)估計(jì)大得多，而且估計(jì)方差也大得多。 ? 基于高階譜的相位譜估計(jì) ? 自相關(guān)函數(shù)丟失了信號(hào)的相位信息，而由累量可以得到信號(hào)的相位譜。設(shè)非最小相位系統(tǒng)表示為 ，其中 是相位譜。根據(jù)式（ ） ,它們與系統(tǒng)頻率特性 有如下關(guān)系： （ ） （ ） 根據(jù)式（ ）或式（ ），可由估計(jì)得到的 或 推算出系統(tǒng) 的相位譜 。 ? （ 1）由 推算 在實(shí)際應(yīng)用中，都是用離散值進(jìn)行計(jì)算。這里， 是 和 的取樣間隔，即假設(shè)它們的取樣間隔相等，表示為 。取初值 。在圖 （ b） 的陰影區(qū)域所表示的雙譜的主值區(qū)域 3?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?2121213 , kkkkkk ???? ????? ?2,1?iki ??ik 12 ??? ?????211k2k 1?2?? ? 00 ??1?2 1k2k? 中， 的取值為 ； 的取值為 。當(dāng) N是奇數(shù)時(shí)，維數(shù)為 ；當(dāng) N是偶數(shù)時(shí)，維數(shù)為 最后，通過(guò)偽逆求解，得到 A A ? ?N? ~~~ ???A ? ? ? ? ? ?? ?TN 121~ ??? ??? ?~A? ? ? ?12/ 2 ?? N? ?? ?? ? ? ?14/11 ???? NNN~~1~~~????????? ? TT AAA? (2)由 推算 式（ ）的離散形式為 定義 取 , 初值 ， 4?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3213213214 , kkkkkkkkk ?????? ????? ? ? ?lknknsnink????????,31 400?? ? ? ? ? ?? ? ? ?nnnkknnk?? 6 216110???????? ??Nn ,3,2 ??? ? 00 ??? 有 寫成矩陣形式 式中， ? ? ? ? ? ?2122 ?? ??s ? ? ? ? ? ? ? ?361422133 ??? ???s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 2 11 1 2 2 1 6NNs N N N N N? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?LSB ?? ? ? ? ? ? ?? ?TN 121 ??? ??? ?? ? ? ? ? ?? ?TNssss ?32?LL? 且 ? 矩陣 是 的正定矩陣，對(duì)其直接求逆便得到相位譜 ????????????????????2321006142300012????????NNNNBB? ? ? ?11 ??? NN SB 1???? 基于高階譜的模型參數(shù)設(shè)計(jì) ? 引言 ? 根據(jù)已知的有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列來(lái)估計(jì)圖 信號(hào)模型的參數(shù)，稱為模型參數(shù)估計(jì)。第四章討論基于自相關(guān)函數(shù)的模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題?；谧韵嚓P(guān)函數(shù)的模型參數(shù)估計(jì)存在以下幾個(gè)問(wèn)題。 ? （ 2）若信號(hào)不僅是非高斯的而且還是非最小相位的，那么采用基于自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)方法所得的模型參數(shù)，由于它只能是最小相位的，所以反映不出原信號(hào)的非最小相位的特點(diǎn)。 ? 基于高斯譜的模型參數(shù)估計(jì)方法能夠有效地解決上述三個(gè)問(wèn)題。 ? ?nu? ?? ? 0?nuE ? ? ? ?121,121, , ?? ? kukkukC ???????? ??? ?nv ? ?zH? 將式 （ ）、式（ ）和式（ ） 合寫成一個(gè)公式如下： ? 該式在形式上類似于式（ ）。對(duì)各種算法的復(fù)雜程度、抗噪能力及它性質(zhì)則不作深入討論。這種情況下，高階 YuleWalker方程式（ ）成為 式中， 是一個(gè)取任意值的參量， 是信號(hào) 階 累量的一維“切面”，即在 中，僅有 是自變 量，其它參數(shù)均 為固定值。但這個(gè)問(wèn)題的求解尚無(wú)一般性結(jié)論。 在常用的三階和四階累量 YuleWalker方程中，系數(shù)分別為 和 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??????????????????????????0,0,10,0,010,0,20,0,120,0,020,0,10,0,110,0,010,0,0,0,0,0,0,0,0??????????????kpMpCkMpCkpCkCkCkpCkCkCkCxkxkxkxkxkxkxkxk? ?0kC 0k ? ?0kCp p paaa , 21 ?1?p )0(,2,1 ??? MMp?? 0,0,0 ?qk ??? ?pka k ,2,1?? ?0,3 , kC x ?? ?0, 0,4 kC x ?? 由于基于累量來(lái)估計(jì) AR模型參數(shù)的方法，也歸納為求解YuleWalker方程，因此，這種方法與基于自相關(guān)函數(shù)估計(jì) AR模型參數(shù)的方法具有類似的估計(jì)性質(zhì)，同時(shí)也同樣存在著估計(jì)的穩(wěn)定性問(wèn)題。若用前 ? 個(gè) 值作線性預(yù)測(cè)（見式 ）即 則預(yù)測(cè)誤差為 p? ?nx ? ? ? ?knxanx kpk ???? ? 1~ ? ? ? ? ? ? ? ? 1, 00~ ?????? ? aknxanxnxne kpk? 根據(jù)式（ ）可寫出預(yù)測(cè)誤差 的多譜為 若線性預(yù)測(cè)系數(shù) ，使得 上式中 為一常量，則有 （ ） ? 即確實(shí)是由的非正態(tài)白噪聲激勵(lì)一個(gè)參數(shù)為的 AR過(guò)程所 ??ne ? ? ? ? ? ? ? ?121,1121121, , ???? ?????? ??? kxkikikek SAAAS ????????? ???ka ? ? ukkekS ,121, , ???? ???uk,?? ? ? ? ? ? ?????? ??? ??? ikikukxkAAAAS?????11121,?? 產(chǎn)生的。 ? 另一方面，用多譜來(lái)估計(jì) AR模型參數(shù)，也存在著穩(wěn)定性問(wèn)題。對(duì)其它高階譜也是一樣。實(shí)際上，非因果 AR模型在一些特殊情況下，例如，在天文信號(hào)、空間信號(hào)、地質(zhì)信號(hào)以及 被污染了的圖像信號(hào)的處理中大量得到應(yīng)用。 ? MA模型參數(shù)估計(jì) ? 對(duì)于由第四章中的式（ ）所表示的 MA模型，已有不少用累量方法估計(jì)模型參數(shù) 的方法。式（ ）或式（ ）就是閉合解方法的公式。但它有理論分析價(jià)值。優(yōu)化方法涉及非線性問(wèn)題。但近年來(lái)，有人提出用類人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的并行結(jié)構(gòu)解非線性規(guī)劃問(wèn)題，從而可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化方法。 ib? 線性代數(shù)法 ? 為了得到基于累量的關(guān)于變量 的線性方程，需要利用信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)量與高階統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系。例如，當(dāng) 時(shí)， 是 的一維對(duì)角切面