【正文】 ?1?12 , ?k?? ? )0(1 ??? MMp Mp ??? 1,2,1 ?? ? ? 00 ?AkC ? ?TpaaA ?11?? 和 ? 矩陣 具有 Toeplitz性質(zhì)，參數(shù) 的選擇應(yīng)保證 的秩為 ，從而可解出 個變量 。 ? ? ? ? ? ?njhjhbniCa kjqjukxkipi ??????? ??? ???? 20,0 0,0, ?xkyk CC , ???nhq?? ? ?? ???????? 00,0,0nhniCa ukxkipi?? ?0?? q?? AR模型參數(shù)估計 ? 令 ARMA模型的差分方程式（ ）中的 ，就得到模型?？紤]到 ， 是因果的，即當(dāng) 時上式右端等于零，便可從上式得到所謂高階 YuleWalker，方程如下： ， ， （ ） ? 下面分別討論基于高斯譜的 AR、 MA和 ARMA模型參數(shù)及階數(shù)的估計。 ? 考慮圖 ，現(xiàn)在假設(shè)，圖中的 是平穩(wěn)非高斯白噪聲序列 ， ； 是高斯有色噪聲； 是有理傳輸函數(shù)， 其差分方程如式 ()所示。 ? （ 3）當(dāng)測量噪聲較大，尤其當(dāng)測量噪聲是有色噪聲時，基于自相關(guān)函數(shù)方法所得的模型參數(shù)有較大的估計誤差。 ? （ 1）若要估計非高斯信號的模型參數(shù)，那么僅僅考慮與自相關(guān)函數(shù)相匹配，就不可能充分獲得隱含在數(shù)據(jù)中的信息。在那里，估計得到的模型參數(shù)僅與信號的自相關(guān)函數(shù)或功率譜包絡(luò)相匹配，只適合于高斯隨機(jī)信號（因為高斯過程僅用二階統(tǒng)計量就能夠完全加以描述）。模型可以是 AR模型、MA模型和 ARMA模型，估計它們的參數(shù)時，要依據(jù)一定的準(zhǔn)則，例如通常比較多地采用最小均方差準(zhǔn)則。 由式（ ）可以得到方程組 2k 2,2,12Nk ??1k 2221 ,1, kNkkk ??? ?? ? ? ? ? ?2121,13 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ?3212,13 ??? ???LL? ? ? ? ? ? ? ?NNN ???? ????? 111,13? ? ? ? ? ? ? ?5323,23 ???? ???? ? ? ? ? ?4222,23 ???LL? ?NNNN ?? ?????????????? 222,23? 將以上方程組寫成矩陣形式 ? 式中 ?? A3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?TNNN ?????? ????????? 2,23,22,21,12,11,1 33333 ?????? ??? ? ? ? ? ?? ?TN??? ?21??????????????????????????????????????10002022000000000101100000000102011000000001000000011010000000011100000000012?????????????????????????????????????A? 可以證明， 的秩等于 N1，可以消去 中與 有關(guān)的最后一行，便得到一組滿秩方程 式中， 矩陣 的維數(shù)決定于 N是奇數(shù)還是偶數(shù)。因此， 和 離散化后分別用整數(shù) 和 表示 。當(dāng) 或 等于 N時，對應(yīng)的 或 等于 。式（ ）的離散形式為 （ ） 式中的 對應(yīng)于 。一般有迭代算法和矩陣偽逆 3,3,3 ?jxx eSS ? 4,4,4 ?jxx eSS ?? ???jeH? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????????? ?21212132121,321,3,????????????????? HHHS ux ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????????? ?3213213214321321,4321,4,???????????????????????? HHHHux3?4? ?zH ? ???? 算法兩種估計相位譜的方法，下面介紹矩陣偽逆算法。 xC,2?? ?nx ? ?nu ? ?zH ? ? ? ? ? ????? jeHH ?? ???? 在實(shí)際應(yīng)用中，使用與三階累量對應(yīng)的雙譜 和四階累量對應(yīng)的三譜 就夠了。在圖 ，把隨機(jī)信號 看成是由白噪聲 激勵線性系統(tǒng) 產(chǎn)生的。通常應(yīng)用分段、加窗等平均、平滑技術(shù)來減少估計的方差。四階取樣累量要復(fù)雜一些，根據(jù)式（ ）可知，四階累量與四階相關(guān)和二階相關(guān)有關(guān)，因此，四階取樣累量定義為 （ ） ? ? ? ? ? ? ? ?2121,3 1, ???? ?????? nxnxnxNC RnRxN ? ? ? ? ? ? ? ?321,4 1 ??? ????? ?? nxnxnxnxNC RnRx ? ? ? ? ? ? ? ?13,22,232,21,2 ?????? ????????xxxx CCCC ? ? ? ?21,23,2 ??? ????xx CC? 式中，二階累量的估計 就是第四章中式（ ）所表示的自相關(guān)函數(shù)的估計 —— 取樣自相關(guān)。結(jié)合第四章中自相關(guān)函數(shù)的估計式（ ），也可以用時間平均代替統(tǒng)計平均，來求得累量 的估計 稱為取樣累量。 ? 累量和多譜的性質(zhì) ? 累量具有對稱性 ? ?? ?nx k ? ?121, , ?kxkC ??? ?? ?? ?nxk ? ?121, , ?kxkS ???k1?k ? ? ? ? ?????? ????? ???? ???? ????? iikikxkkxk jCS ???????? ?? 11121,121, exp, 21 ??3?kxkS, ? ?21 ,3 ??xS ? ?321,4 , ???xS? 相互獨(dú)立的兩隨機(jī)序列的組合序列的累量等于零 ? 隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)后的累量等于隨機(jī)信號的累量系統(tǒng)沖激響應(yīng)的累量的卷積 ? 信號的高階累量能夠決定模型的沖激響應(yīng) ? 累量和多譜估計 ? 在信號模型中，信號 的累量可根據(jù)式（ ）由信號模型的沖激響應(yīng) 來計算。其中累量生成函數(shù)為 即 （ ） 隨機(jī)過程的累量與前面討論的隨機(jī)變量的累量類似，只是用矢量代替了標(biāo)量，所以它們所用的運(yùn)算方法和所得到的結(jié)論都是類似的。設(shè)矢量 ， 是隨機(jī)矢量；矢量 ， 是 的特征函數(shù)的自變量。 ? 顯然，正態(tài)隨機(jī)變量 的偏態(tài) （ ） 33?CSx ?)0]([ 133 ?? mxECg 0?gS03?C? 設(shè) ，對四階累量的分析（正態(tài)隨機(jī)變量） ? 而正態(tài)隨機(jī)變量的四階矩為： ? 說明：累量是任意隨機(jī)變量的矩與正態(tài)隨機(jī)變量的同階矩的差。 ? 三階累量是三階中心矩，描述了概率分布的非對稱性 。 ? 累量的物理意義： ? 一階累量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，大致地描述概率分布的中心。當(dāng)均值為零時，就是二、三階相關(guān)。這是因為二階以上的矩不提供新的信息。只是特別的，三階累量正好與三階相關(guān)等同。 t02cos ? )(?X)( 0??? ? )2( 0??? ? 2?0? 02? 1?ttx 02cos)( ??? 累量和多譜的定義及其性質(zhì) ? 前面討論了三階相關(guān)及其付里葉變換 —— 雙譜。 若 除了含有 外還有 ，則每組直線將含四根，他們有六個公共交點(diǎn)。 )()()(),( 21*2121 ?????? ?? HHHB h)(),(2121|)(|)(|),(|),( 21???????????jjhheHHeBB??|)(||)(||)(||)(| 212121 ?????? ?? HHH,B h)()()(),( 212111 ?????????? ????ttx 01 co s)( ??tAtx 02 co s)( ???? 解： 的頻譜 是兩個 的函數(shù) 由雙譜定義式（確定序列）： 的雙譜，只在 的公共交點(diǎn)上有非零值（即三個因子全不為 0時， ） 有三組線： ， )(1 tx )(1?X ?)]()([21)( 001 ??????? ????X)()()(),( 21*12111211 ?????? ?? XXXB x)(1 tx0201 ??? ???? 及 0),( 21 ??xB? 02101 ????? ????? 　， 02 ?? ?? 0 三組線沒有共同交點(diǎn) ∴ 2W1W0),( 211 ???xB0W021 ??WW0? 的頻譜 為 同理，只是這時每組直線變成三根： )(2 tx )(2 ?X)]()([21)()( 002 ????????? ????? AX000 ，　　，　 ??? ?? 0 2W 001W0W? 0?)()()(),( 21*22212212 ?????? ?? XXXB x?????????????o t h e r w i se 000 4)0,0(),( 00000021213),) , (,) , ( ,) , (,(), (AA????????