【正文】 在 自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用，都是基于自相關(guān)的，但實(shí)際中常涉及到非最小相位系統(tǒng)，而且其相位信息非常重要。這對(duì)于非最小相位系統(tǒng)的識(shí)別和解逆濾波的問(wèn)題十分有效。 ? ?? ?nx ? ?? ?ny? ? ? ? ? ?nwnsnx ?? ? ? ? ? ? ?nvdnsny ??? ??ns? ?nw ??nv? ?nx ??ny d ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????????? ???? ,dRnynxER ssxyd?? ? ?nw ? ?nv? ?ns? ? ? ?dRR ssxy ?? ?? ? ??xyR d??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?21,32121, , ?????? dCnxnynxEC szyx ?????d?1?? （ 4）提取非正態(tài)信號(hào)的相位信息。這時(shí)， ，于是 的峰值并不出現(xiàn)在 處。但實(shí)際上， 和 是有色的。 ? 設(shè)接收到的兩個(gè)信號(hào)序列為 和 ，他們分別被描述為 和 。因此，可以較好地從噪聲中分離出信號(hào)。實(shí)際上，水下信號(hào)、空間信號(hào)等的測(cè)量噪聲都是有色的高斯噪聲。圖 （ c） 所示的就是非線性檢測(cè)的例子。 ? （ 2）檢測(cè)盒定性分析一個(gè)系統(tǒng)的非線性特征。實(shí)際上，任何周期信號(hào)、準(zhǔn)周期信號(hào)都是非正態(tài)的。 ? 應(yīng)用多譜的動(dòng)機(jī)大致有以下幾點(diǎn)： ? （ 1）從非正態(tài)信號(hào)中提取信息。對(duì)于信號(hào)處理技術(shù) pia? ?qMAq? ? ? ? 00,1,00, ,3,3 ??? qCqC xx? 領(lǐng)域來(lái)講，多譜可用于自適應(yīng)信號(hào)處理。很明顯，最后一個(gè)非零累量的時(shí)延就是階數(shù) 。 p16?peM qNpNpMqM ?????? 2121 ,1??nx xkC,eMp xkC, xkC,? ??,2,1?iS ip 1?? pP SSpia? 關(guān)于 MA模型的階的確定，有幾種不同的方法，如：由高階譜相位得到極零點(diǎn)階數(shù)差的方法，直接計(jì)算累量法等 .下面介紹直接計(jì)算累量法。 ? 實(shí)際上，奇異值分解法還可以同時(shí)被用來(lái)估計(jì) AR參數(shù) ? ，它具有保留全通因子的特點(diǎn)。實(shí)際上，由于用估計(jì)值 代替真值 ，所以所有的奇異值 從大到小排列，都不為零。例如， ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,22,1,22,1,1,1,221,221,121,121,221,21,121,11,???????????????????????????????????NMMCNMMCNMMCNMMCNMMCNMCNMMCNMCMxkxkxkxkxkxkxkxke??????????qNpqNpMpqM???????2121 1? ?qp, pp qeM p eM p? 在語(yǔ)音分析中，可以證明，聲道的 AR模型的階 的上限 ； ? 第二步：寫出矩陣 ，取 。 ? 根據(jù)上述原理， ARMA 模型的階 的確定，可按以下步驟進(jìn)行?？梢宰C明，矩陣 有滿秩 。但是，可以找到某些 ARMA模型，對(duì)所有的 都不是滿秩的。為了書寫方便，以三階累量為例，并注意到 ，變量 ，將方程寫成以下矩陣 ? ?qpA RM A , ? ?qMA ? ?pAR? ?qpA RM A ,10 ?apqqq ???? ?,21，?? 形式： 記為 （ ） ? 若 矩陣 的 秩為 ，則式（ ）可唯一確定 AR系數(shù) 。至于 模型和 模型的階的確定問(wèn)題，只不過(guò)是 模型的特例。但信息論中的一些準(zhǔn)則，如 AIC等是以二階統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，而且應(yīng)用了高斯過(guò)程的似然函數(shù)，所以這些準(zhǔn)則對(duì)于有色高斯測(cè)量噪聲的干擾便不適用。 與 的功率譜相同。將最小相位系統(tǒng) 分解成一個(gè)最小相位系統(tǒng) 與一個(gè)全通系統(tǒng) 的級(jí)聯(lián)。然后基 于高階譜估計(jì) 的相位譜 。 ? 第二，相位估計(jì)法。設(shè)某一系統(tǒng)的 為 ? ?zHMP? ?zH? ?zH??zH? ? ? ? ?????? ? ?? ? 11 1 az azzHzH? 式中， 是全通因子，它對(duì)幅度特性沒有任何貢獻(xiàn)， 但卻提供了部分相位信息。值得注意的是，這種方法丟失了系統(tǒng) 中的全通因子，稱為盲全通因子的方法。這種方法前面已經(jīng)討論過(guò)。下面介紹三種恢復(fù)相位的技術(shù)。 ? 第二步：設(shè)矢量 ? 求最佳估計(jì) ，使下式表示的代價(jià)函數(shù) 最小 式中， 為一常數(shù)。 ? ? ? ? ? ?lnubinxanx qllpii ????? ???? 01? ?nx? ? ?nx? ? ? ?inxanx pii ??? ?? 1??ia? ia ii aa ??? ? ? ?lnubnx qll ?? ?? 0~??nx~ ??qlb? 非線性優(yōu)化法 ? 該方法與 MA模型參數(shù)估計(jì)的非線性二乘法相同，也分兩步進(jìn)行。0,2,1 0 ???????????? ? ? ? ? ?nxnxnx ?~ ?? ? ?nx? 即 ? 是對(duì) 的估計(jì)： ? 式中， 是 的估計(jì)值。這種方法分成三步來(lái)完成。下面介紹其中的三類方法：剩余時(shí)間序列法、非線性優(yōu)化法和相位恢復(fù)法。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將在本書第八章中討論。0,0, 21 ?????? ?qlb l ,2,1 ??u,3?J ? ?2^21,300 ,212121 ?????? ?????????? ?????? xlllqiqCbbbJ? 調(diào)整參數(shù)可以采用迭代算法，如最陡下降法、牛頓法或Marqnardthevenberg等。1,1。2,2,1,2?，F(xiàn)在討論非線性二乘法。 ? 非線性優(yōu)化算法 ? 優(yōu)化算法有全搜索法和非線性最小二乘法兩種方案。 再考慮二階譜 即功率譜 ，由式（ ）得知： 或?qū)懗? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?zHzzHzHzS mzkukxk ?? ?? 1, ?? ?zHk 2? ?nhk 2? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ???? ?? ?zHkk ZHzHzHzH 個(gè)22 ?? ???? ?zSxz, ? ?zSxx ? ? ? ? ? ? ? ?1, ??? zHzHzSzS zuxxxz ?? ? ? ? ? ?zSzHz xzzx ,1 1???? 常用的三階和四階累量線性方程組分別為 ? 利用最小二乘法即可由上兩式的任一式子解出式中的 q+1 ? 個(gè)變量值 和 。 的傅里葉變換記為 ，其 Z變換記為，即 根據(jù)累量計(jì)算公式（ ）以及 Z變換的性質(zhì)，上兩式可分別表示成 ??ib ? ?121, , ?kxkC ??? ?? ?mC xk ?, ? ? ? ?mCm xkxk ??? ???? , ?0?m? ?0, ?xkC xC? ???? ???? ? 121 k?? ?mC xk , ?? ??xkS , ? ? ? ? ?? ? ?? ?? zmCzS xkxk , ? ? ? ? ? ? ? ?mnhnhnhmC knukxk ???????? ???20,? 上式代入式（ ），得到 （ ） 式（ ）給出了高階譜與二階譜之間的關(guān)系，它對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為 （ ） 根據(jù)累量的對(duì)稱性，可以只取其主區(qū)域（參見圖 （ b） 的 陰影區(qū)域），即取 。先考察累量 的一維切面 ： ? 式中， m為參量，取任一數(shù)值。下面討論后兩類算法。因而實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難。比較而言，線性代數(shù)方法最為實(shí)用。這種方法抗噪音能力差，而且沒有提供任何關(guān)于估計(jì)誤差和修正方差的信息，因此難以實(shí)際使用。這些方法大致可分為三類：閉合解方法，線性代數(shù)方法和非線性優(yōu)化方法。 ? ? ? ? ? ? ? ?1,2111,2 ???? ?? zSzAzAzS xxz 1?z ? ? ? ? ? ? ? ?12111211121,3 , ????? ?? zzAzAAzzS x? ? ? ? ? ? ? ?2111211111211,3 , zzAzAzAzzx ??????? ??? ?21,3 , zzS x ? ?1211,3 , ?? zzS x? 非因果 AR模型估計(jì)方法通常有三種：全搜索法，優(yōu)化計(jì)算法和轉(zhuǎn)換為 MA模型法。因此，用多譜估計(jì) AR模型參數(shù)時(shí)，必須用合適的方法把非穩(wěn)定極點(diǎn)變換成非因果 AR過(guò)程。在用功率譜估計(jì) AR模型參數(shù)時(shí)，為解決穩(wěn)定性問(wèn)題，只要把不穩(wěn)定的極點(diǎn)替換成其倒數(shù)極點(diǎn)（它們關(guān)于園是對(duì)稱的）就行了，因而用多譜來(lái)估計(jì) AR模型參數(shù)時(shí)，卻不能作這種替換（即將 換成 ），因?yàn)橐噪p譜為例， 而， 可以看出 與 并不相等。因此，預(yù)測(cè)誤差的多譜的平坦程度可以作為 AR過(guò)程與實(shí)際多譜接近程度的度量。 ? 與 AR譜估計(jì)性質(zhì)相類似， AR過(guò)程的多譜估計(jì)與已知的多譜相匹配程度，也可以用線性預(yù)測(cè)誤差的多譜來(lái)度量，同樣也可以用多譜的平坦度來(lái)衡量。通常為“安全”起見，取 個(gè)一維切面，即取 ；取 ；將對(duì)應(yīng)的線性方程聯(lián)立求解，得到 。上式中取 個(gè)線性方程聯(lián)立，令 ，則上式可表示成 其中 0?q ? ?? ???????? 00,0,0,0,0khkiCa ukxkipi?? ?0?? ?0k ? ?0,0, 0, ?kiC xk ??k ?121, , ?kxkC ??