【文章內(nèi)容簡介】 （ 3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解 （ 4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅴ .課后作業(yè) 課本第 22 頁第 3 題 ●板書設計 ●授后記 第 13 頁 共 58 頁 課題 : 167。 解三角形 應用舉例 第二課時 授課類型： 新授課 ●教學目標 知識與技能： 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題 過程與方法： 本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學 生在溫故知新中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。通過 3 道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導 ——討論 ——歸納，目的不在于讓學生記住結論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣闊的思考空間 情感態(tài)度與價值觀： 進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力 ●教學重點 結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題 ●教學難點 能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件 ●教學過程 Ⅰ .課題導入 提問：現(xiàn)實 生活中 ,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀拷裉煳覀兙蛠砉餐接戇@方面的問題 Ⅱ .講授新課 [范例講解 ] 例 AB 是底部 B 不可到達的一個建筑物， A 為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB 的方法。 分析：求 AB 長的關鍵是先求 AE，在 ? ACE 中，如能求出 C 點到建筑物頂部 A 的距離 CA，再測出由 C 點觀察 A 的仰角，就可以計算出 AE 的長。 解：選擇一條水平基線 HG，使 H、 G、 B 三點在同一條直線上。由在 H、 G 兩點用測角儀器測得 A 的仰角分別是 ? 、 ? ， CD = a，測角儀器的高是 h，那么，在 ? ACD 中，根據(jù)正弦定理 第 14 頁 共 58 頁 可得 AC = )sin(sin????a AB = AE + h = AC ?sin + h = )sin( sinsin ?? ???a + h 例 如圖，在山頂鐵塔上 B 處測得地面上一點 A 的俯角 ? =54 04?? ，在塔底 C 處測得 A 處的俯角 ? =501?? 。已知鐵塔 BC 部分的高為 m,求出山高 CD(精確到 1 m) 師 :根據(jù)已知條件 ,大家能設計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在 ? ABD 中求 CD，則關鍵需要求出哪條邊呢？ 生：需求出 BD 邊。 師：那如何求 BD 邊呢？ 生：可首先求出 AB 邊，再根據(jù) ? BAD=? 求得。 解 :在 ? ABC 中 , ? BCA=90? +? ,? ABC =90? ? ,? BAC=? ? ,? BAD =? .根據(jù)正弦定理 , )sin( ???BC = )90sin( ???AB 所以 AB =)sin( )90sin( ?? ?? ??BC=)sin(cos?? ??BC 解 Rt? ABD 中 ,得 BD =ABsin? BAD=)sin( sincos ?? ???BC 將測量數(shù)據(jù)代入上式 ,得 BD = )1500454sin( ??? ?? ?? ?? 第 15 頁 共 58 頁 =934sin ? ??? ?? ≈ 177 (m) CD =BD BC≈ =150(m) 答 :山的高度約為 150 米 . 師：有沒有別的解法呢？ 生：若在 ? ACD 中求 CD，可先求出 AC。 師：分析得很好，請大家接著思考如何求出 AC？ 生：同理，在 ? ABC 中，根據(jù)正弦定理求得。（解題過程略） 例 如圖 ,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛 ,到 A 處時測得公路南側遠處一山頂 D在東偏南 15? 的方向上 ,行駛 5km后到達 B處 ,測得此山頂在東偏南 25? 的方向上 ,仰角為 8? ,求此山的高度 CD. 師：欲求出 CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ 生：在 ? BCD 中 師：在 ? BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根據(jù)條件 ,易計算出哪條邊的長？ 生： BC 邊 解 :在 ? ABC 中 , ? A=15? ,? C= 25? 15? =10? ,根據(jù)正弦定理 , ABCsin = CABsin , BC =CAABsinsin=??10sin15sin5 ≈ (km) CD=BC? tan? DBC≈ BC? tan8? ≈ 1047(m) 答 :山的高度約為 1047 米 Ⅲ .課堂練習 課本第 17 頁練習第 3 題 Ⅳ .課時小結 利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖 ,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕? Ⅴ .課后作業(yè) 第 16 頁 共 58 頁 課本第 23 頁練習第 8 題 為測某塔 AB 的高度，在一幢與塔 AB 相距 20m 的樓的樓頂處測得塔頂 A 的仰角為 30? ，測得塔基 B 的俯角為 45? ，則塔 AB 的高度為多少 m？ 答案： 20+3320(m) ●板書設計 ●授后記 課題 : 167。 解三角形 應用舉例 第三課時 授課類型： 新授課 ●教學目標 知識與技能： 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題 過程與方法： 本節(jié)課是在學習了相關內(nèi) 容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應通過綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例 1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的 2 道例題，強調(diào)知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。 情感態(tài)度與價值觀： 培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。 ●教學重點 能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系 ●教學難點 靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題 ●教學過程 Ⅰ .課題導入 [創(chuàng)設情境 ] 提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中 ,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。 Ⅱ .講授新課 [范例講解 ] 例 如圖，一艘海輪從 A 出發(fā)，沿北偏東 75? 的方向航行 n mile 后到達海島 B,然后從 B 出發(fā) ,沿北偏東 32? 的方向航行 n mile 后達到海島 A 出發(fā)到達 C,此船應該沿怎樣的方向航行 ,需要航行多少距離 ?(角度精確到 ? ,距離精確到 mile) 第 17 頁 共 58 頁 學生看圖思考并講述解題思路 教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出 AC 邊所對的角 ? ABC，即可用余弦定理算出 AC 邊，再根據(jù)正弦定理算出 AC 邊和 AB 邊的夾角 ? CAB。 解：在 ? ABC 中， ? ABC=180? 75? + 32? =137? ，根據(jù)余弦定理， AC= A B CBCABBCAB ????? c o s222 = ?????? 137c o 22 ≈ 根據(jù)正弦定理 , CABBC?sin = ABCAC?sin sin? CAB = ACABCBC ?sin = ? ≈ , 所以 ? CAB =? , 75? ? CAB =? 答 :此船應該沿北偏東 ? 的方向航行 ,需要航行 mile 例 在某點 B 處測得建筑物 AE 的頂端 A 的仰角為 ? ，沿 BE 方向前進 30m，至點 C 處測得頂端 A 的仰角為 2? ，再繼續(xù)前進 10 3 m 至 D 點，測得頂端 A 的仰角為 4? ，求 ? 的大小和建筑物 AE 的高。 師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。 第 18 頁 共 58 頁 生：上臺板演方位圖（上圖） 教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板演，然后教師補充講評。 解法一：（用正弦定理求解）由已知 可得在 ? ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=10 3 ， ? ADC =180? 4? ， ??2sin310=)4180sin( 30 ??? 。 因為 sin4? =2sin2? cos2? ? cos2? = 23 ,得 2? =30? ? ? =15? ， ?在 Rt? ADE 中， AE=ADsin60? =15 答：所求角 ? 為 15? ，建筑物高度為 15m 解法二：（設方程來求解）設 DE= x， AE=h 在 Rt? ACE 中 ,(10 3 + x)2 + h2 =302 在 Rt? ADE 中 ,x2 +h2 =(10 3 )2 兩式相減，得 x=5 3 ,h=15 ?在 Rt? ACE 中 ,tan2? =xh?310=33 ?2? =30? ,? =15? 答：所求角 ? 為 15? ，建筑物高度為 15m 解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為 AE=8，由題意，得 ? BAC=? ， ? CAD=2? ， AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt? ACE 中， sin2? =30x ① 在 Rt? ADE 中， sin4? =3104, ② 第 19 頁 共 58 頁 ② ? ① 得 cos2? =23,2? =30? ,? =15? ， AE=ADsin60? =15 答 ：所求角 ? 為 15? ，建筑物高度為 15m 例 某巡邏艇在 A 處發(fā)現(xiàn)北偏東 45? 相距 9 海里的 C 處有一艘走私船，正沿南偏東 75? 的方向以 10 海里 /小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以 14 海里 /小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？ 師：你能根據(jù)題意畫出方 位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型 分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。 解：如圖，設該巡邏艇沿 AB 方向經(jīng)過 x 小時后在 B 處追上走私船，則 CB=10x, AB=14x,AC=9, ? ACB= ?75 + ?45 = ?120 ?(14x) 2 = 92 + (10x) 2 2? 9? 10xcos ?120 ?化簡得 32x2 30x27=0，即 x=23 ,或 x=169 (舍去 ) 所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因為 sin? BAC =ABBC ?120sin=2115 ? 23=1435 ?? BAC =38 31?? ,或 ? BAC =141 74?? （鈍角不合題意，舍去）， ?38 31?? + ?45 =83 31?? 答：巡邏艇應該沿北偏東 83 31?? 方向去追，經(jīng)過 小時才追趕上該走私船 . 評注： 在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個 解，但作為有關現(xiàn)實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅲ .課堂練習 課本第 18 頁練習 Ⅳ .課時小結 解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（ 1） 已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（ 2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。 Ⅴ .課后作業(yè) 課本第 23 頁練習第 11 題 第 20 頁 共 58 頁