正弦定理余弦定理綜合應用解三角形經典例題老師(編輯修改稿)
2025-04-21 04:59 本頁面
【文章內容簡介】 a＝，A＝60176。，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴ 3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝9－3bc．∴ bc＝2．又b＋c＝3，∴ b＝1，c＝2或b＝2，c＝1．問題四：三角恒等變形【例7】（08重慶） 設的內角A，B，C的對邊分別為,b,c，且A=，c=：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值.【解題思路】求的值需要消去角和三角求值問題一般先考慮尋找角之間的關系【解析】（Ⅰ）由余弦定理得＝故（Ⅱ）解法一：＝＝由正弦定理和（Ⅰ）的結論得 故 解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的結論有 故同理可得從而【思考】在解三角形的背景下一般見“切割化弦”， 同角三角函數(shù)的基本關系式： （1）平方關系： （2）倒數(shù)關系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商數(shù)關系：【適時導練】4.（2009江西卷理）△中，所對的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求. 【解析】(1) 因為，即，所以，即 ，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因為，則，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ， 得問題五：判斷三角形形狀【例8】在△ABC中，在中，分別是角A、B、C所對的邊，bcosA＝cosB，試判斷三角形的形狀.【解題思路】判定三角形形狀時，一般考慮兩個方向進行變形：（1）一個方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結合使用；（2）另一個方向是角，【解析】方法1：利用余弦定理將角化為邊.∵bcosA＝cosB ∴∴ ∴ ∴故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理將邊轉化為角.∵bcosA＝cosB 又b＝2RsinB，＝2RsinA∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.【思考】判斷三角形形狀時一般從角入手，利用三角形內角和定理，實施關于三角形內角的一些變形公式.【例9】. 在△ABC中，在中，分別是角A、B、C所對的邊，若＝，試判斷三角形的形狀.【解析】：方法1：利用余弦定理將角化為邊由已知＝及正弦定理得＝∴sin2A=sin2B∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故△ABC為等腰三角形或直角三角形.
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