【文章內(nèi)容簡介】 限也叫做重極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)先后相繼地趨于與時的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：若對任一固定的，當(dāng)時，的極限存在：,而在時的極限也存在并等于，亦即，那么稱為先對，再對的二次極限，記為．同樣可定義先后的二次極限：．上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設(shè)由　得（兩邊夾）。不存在知的累次極限不存在。例：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)，由知兩個二次極限存在且相等。但由前面知不存在。例：（兩個二次極限存在，但不相等）。設(shè)，則。（不可交換）上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯(lián)系。定理1　設(shè)（1）二重極限；（2）。則。（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1設(shè)（1）；（2），存在；（3），存在；則，都存在，并且等于二重極限。推論2若累次極限與存在但不相等，則重極限必不存在（可用于否定重極限的存在性）。例：求函數(shù)在的二次極限和二重極限。第十四章多元函數(shù)微分學(xué)167。1偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念一偏導(dǎo)數(shù)的定義1．偏導(dǎo)數(shù)定義定義1設(shè)是一個二元函數(shù)，定義在內(nèi)某一個開集內(nèi)，點(diǎn)（，）D，在中固定,那么是一個變元的函數(shù)，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，即如果(1)存在，則稱此極限值為二元函數(shù)在點(diǎn)（,）關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。記為。類似地可定義。2．偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例:設(shè)，求偏導(dǎo)數(shù)。例：，求和。例：U=++yz求。若在點(diǎn)關(guān)于（或）可導(dǎo)，則在關(guān)于（或）連續(xù)。但不能推出關(guān)于兩個變量是連續(xù)的。見下面的例子。例：。就是曲線在的切向量。就是曲線在的切向量。二全微分的定義二元函數(shù)微分的定義定義2若函數(shù)的全改變量可表示為=(+,+)=++()且其中與，無關(guān)而僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，并稱為在點(diǎn)的全微分，記為，即。性質(zhì)1如果在點(diǎn)（,）可微，則。注：若在點(diǎn)可微，則。性質(zhì)2若在點(diǎn)（，）可微，則f在點(diǎn)（，）連續(xù)。例：設(shè)證明在點(diǎn)不可微。定理1設(shè)函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)（，）存在而且都連續(xù)，則在點(diǎn)（，）可微。例：設(shè)，求。三高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分類似于一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，可以定義高階偏導(dǎo)數(shù)。例：設(shè)，求，；。注：一般情況下，未必有。例：設(shè)，可求得。定理2設(shè)二元函數(shù)的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)，在(，)連續(xù)，則有(,)=(,)。167。2求復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理1（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)，此時在點(diǎn)可微，又和都在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在，則說明：(1)幾種特殊情形：定理1顯然講的是2個中間變量，2個自變量的情形，但其思想方法完全適用與其它情形：1）則。2）設(shè)則例：又設(shè)。求（2）計(jì)算復(fù)合函數(shù)的兩階及兩階以上偏導(dǎo)數(shù)，只要重復(fù)運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t即可。(3)有時記。例：。例：（4）鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t中的條件是充分的，并非必要的。在使用鏈?zhǔn)椒▌t時，要注意的可微性條件，如果不滿足這一條件，鏈?zhǔn)椒▌t不一定成立。二一階微分形式不變性一階微分有個很重要性質(zhì)——形式不變性。在二元函數(shù)中也有類似的性質(zhì)。設(shè)是二元可微函數(shù)，如果是自變量，則：（各自獨(dú)立變量）（1）如果不是自變量而是中間變量，又設(shè)都可微，并且可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么：（2）由（1），（2）的可知一階微分形式的不變性。注意（1）兩階微分沒有這一性質(zhì)，如下例。例：設(shè)則如果二階微分只有形式不變性，則有：但（2）利用一階微分形式不變性求偏導(dǎo)數(shù)例：設(shè)利用微分形式不變性求并求出（3）高階微分不具有形式不變性。167。3由方程（組）所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法在此之前，我們所接觸的函數(shù)，其表達(dá)式大多是自變量的某個算式，如這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)。但在不少場合常會遇到另一種形式的函數(shù)，其自變量與因變量之間的對應(yīng)法則是由一個方程式所決定的。這種形式的函數(shù)稱為隱函數(shù)。本節(jié)將介紹由一個方程所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法以及由方程組所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法。一．一個方程的情形對說明：（1）求需要假定，這一假設(shè)是很重要的；（2）這里只用到了“鏈?zhǔn)椒▌t”；（3）對求導(dǎo)，只在假定的函數(shù)的情況下，求導(dǎo)數(shù)，如何確定。例：設(shè)。例：設(shè)二階可微，求。二方程組的情形設(shè)由方程組確定了：并且它們具有對各個變元的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如何求偏導(dǎo)數(shù)？解決方案：求完全相同。例：設(shè)。例：設(shè)。例：設(shè)，變換方程。167。4空間曲線的切線與法平面本節(jié)主要討論由參數(shù)方程表示的空間曲線和由方程組表示的空間曲線的切線和法平面的計(jì)算問題。參數(shù)方程的情形設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為其中的參數(shù)。又設(shè)都在連續(xù)，并且對每一不全為0，這樣的曲線稱為光滑曲線。通過曲線上任一點(diǎn)的切線定義為割線的極限位置，由此就可寫出曲線在任一點(diǎn)的切線方程為：。法平面：過點(diǎn)可以作無窮多條切線與切線垂直，所有這些直線都在同一平面上，稱這個平面為曲線在點(diǎn)處的法平面，其方程為：。例：求螺旋線：，（其中為常數(shù)）在點(diǎn)（，0，0）的切線方程和法平面方程。如果曲線方程由下式表示：。則過點(diǎn)的切線方程為，過點(diǎn)的法平面方程為?？臻g曲線是用兩個曲面的交線表示：。又設(shè)，關(guān)于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，；例：求兩柱面的交線在點(diǎn)的切線方程和法平面方程。167。5曲面的切平面與法線設(shè)光滑曲面的方程，為曲面上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切平面方程為：。過點(diǎn)并與切線平面垂直的直線，稱為曲線在點(diǎn)的法線，方程為：。若曲面方程為，則曲面過的切平面方稱為法線方程：。曲面方程由方程組給出：，給出，其中是參數(shù)。則曲面過的切平面方稱為。法線方程為：例：求曲面在點(diǎn)（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法線方程和切平面方程。例：證明對任何常數(shù)，球面和錐面正交。167。6方向?qū)?shù)和梯度一方向?qū)?shù)在許多實(shí)際問題中，常常需要知道函數(shù)在一點(diǎn)沿任何方向或某個方向的變化率。定義1設(shè)是中的一個區(qū)域，是D內(nèi)一個函數(shù)，是一個方向向量，令，如果存在，則稱此極限是在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，記為。它表示在點(diǎn)沿方向的變化率。定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)存在，并且有其中是方向的方向余弦。例：設(shè)，求在點(diǎn)（1，0，2）沿方向（2，1，1）的方向?qū)?shù)。設(shè)是中的一個區(qū)域，是內(nèi)的一個二元可微函數(shù)，那么在內(nèi)每一點(diǎn)，沿單位向量的方向?qū)?shù)是，其中是軸正向（即軸上單位向量）和向量之間的夾角。二梯度引言在一個數(shù)量場中，在給定點(diǎn)沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不相同的，現(xiàn)在我們所關(guān)心的是：沿哪一個方向其方向?qū)?shù)最大？其最大值是多少？為此引進(jìn)一個很重要的概念——梯度。梯度的定義定義2設(shè)定義于某個三維區(qū)域內(nèi)，又設(shè)函數(shù)具有關(guān)于各個多元的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，稱向量是在點(diǎn)的梯度，記為，即。它的長度為。注：它是一個向量，是由數(shù)量場產(chǎn)生的向量。的性質(zhì)：設(shè)可微，則（1）；（是常數(shù)）。（2）；（3）（）（4）（在可微）例：設(shè)在空間原點(diǎn)處有一個點(diǎn)電荷，在真空中產(chǎn)生一個靜電場，在空間任一點(diǎn)處的電位是：，則。的意義：的方向表示數(shù)量場沿此方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大；的根長就是這個最大的方向?qū)?shù)。例：求數(shù)量函數(shù)在的梯度及其大小。167。7泰勒公式定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)內(nèi)對及具有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。對D內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)，則，這里。二元函數(shù)的中值公式，其中。例：寫出在點(diǎn)附近函數(shù)的泰勒公式。例：按及的乘冪展開函數(shù)到三項(xiàng)為止。第十五章極值和條件極值167。一極值定義1　設(shè)在的鄰域內(nèi)成立不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極大值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大點(diǎn)，若在的鄰域內(nèi)成立不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極小點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定義2設(shè)是內(nèi)的一個區(qū)域，是的一個內(nèi)點(diǎn)，如果，則稱是的一個駐點(diǎn)。根據(jù)費(fèi)瑪定理，可知定理1二元函數(shù)的極值點(diǎn)必為的點(diǎn)或至少有一個偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。注：定理1的條件是必要條件，而不是充分條件。例：在點(diǎn)。例：在點(diǎn)。怎樣進(jìn)一步判斷是否有極值？定理2設(shè)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有各個二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且點(diǎn)是的一個駐點(diǎn)，，則：（1）若，則在點(diǎn)有極小值；（2）若，則在點(diǎn)有極大值；（3）若，則在點(diǎn)沒有極值；（4）若，則須進(jìn)一步判斷。例：求的極值。例：求的極值。多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴}設(shè)函數(shù)在某一有界閉區(qū)域中連續(xù)且可導(dǎo)，必在上達(dá)到最大（小）值。若這樣的點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)部，則在這點(diǎn)顯然函數(shù)有極大（?。┲?。因此，在這種情形函數(shù)取到最大（?。┲档狞c(diǎn)必是極值點(diǎn)之一。然而函數(shù)的最大（?。┲底羁赡茉趨^(qū)域的邊界上達(dá)到。因此，為找出函數(shù)在區(qū)域上的最大（?。┲担仨氄页鲆磺杏袠O值的內(nèi)點(diǎn)，算出這些點(diǎn)的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)值相比較，這些數(shù)值中最大數(shù)（或最小數(shù)）就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大（?。┲?。通?？筛鶕?jù)問題的實(shí)際意義來判斷。例：有一塊寬24cm的矩形薄鐵皮，把兩邊折起來，做成一個梯形水槽，問和各自為何值時，水槽的流量是最大？例：試在軸，軸與直線圍成的三角形區(qū)域上求函數(shù)的最大值。二.最小二乘法例：已知，…服從線性關(guān)系：問：如何根據(jù)這組數(shù)據(jù)來合理地確定系數(shù)和？解：總偏差為，確定系數(shù)，使總偏差最小。這種確定系數(shù)的方法叫做最小二乘法。令，即可解得。幾個疑問：1）如果怎么辦？2）這樣求出的就是達(dá)到極小值的點(diǎn)？3）在選取時，為什么不取各個偏差的代數(shù)和作為總偏差？例：已知，現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，求系數(shù)所滿足的三元一次方程組。167。2條件極值一何謂條件極值在討論極值問題時，往往會遇到這樣一種情形，就是函數(shù)的自變量要受到某些條件的限制。決定一給定點(diǎn)到一曲面的最短距離問題，就是這種情形。我們知道點(diǎn)到點(diǎn)的距離為。現(xiàn)在的問題是要求出曲面上的點(diǎn)使F為最小。即，問題歸化為求函數(shù)在條件下的最小值問題。又如在總和為C的幾個正數(shù)的數(shù)組中，求一數(shù)組，使函數(shù)值為最小，這是在條件的限制下，求函數(shù)的極小值問題。這類問題叫做條件極值問題。二條件極值的必要條件為了方便起見，同時又不不失一般性，我們僅討論以下情形。前提：設(shè)函數(shù)具有對各個變元的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而這些變元之間又受到以下條件的限制：其中和都具有對各個變元的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且它們的行列式。目標(biāo)：我們要求函數(shù)在限制條件下的極值的必要條件。定理1（限制極值的必要條件）在限制條件下于點(diǎn)取得極值，那么必存在常數(shù)，使得在該點(diǎn)有：稱，是乘數(shù)（待定乘數(shù)）。這一結(jié)果可推廣到元函數(shù)。三條件極值的求法在具體解題時，例如在限制條件下求的極值，可如下進(jìn)行：1．引入函數(shù)（函數(shù)）：。2．求的極值（視為獨(dú)立變量）：由。解得可能的極值點(diǎn)。若，則取得極小值；若，則取得極大值。例：求空間內(nèi)一點(diǎn)到平面的距離。例：要制造一容積為16的無蓋長方形水箱，問水箱長、寬、高為多少時，所用材料最??？第十六章隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)167。1隱函數(shù)存在定理一一個方程的情形在前面，我們是在假定從方程中可以確定的前提下，給出求導(dǎo)數(shù)的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能確定出隱函數(shù)。因此，我們必須知道方程在什么情況下才能確定隱函數(shù)？例：設(shè)有方程，問在點(diǎn)，的附近是否確定為的函數(shù)？定理1（隱函數(shù)存在定理）設(shè)二元函數(shù)滿足下列條件：注：(1)定理的幾何意義：條件(1)表明曲面是光滑的；條件（2）表明曲面和坐標(biāo)平面有一個交點(diǎn)，條件（3）（不妨設(shè)）表明在的附近，對固定的，設(shè)為正向，曲面是單調(diào)增加的。定理的結(jié)論是：在點(diǎn)的附近曲面和有一條唯一的光滑交線.（2）定理的結(jié)論是局部性的，即在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)由方程可以唯一確定一個可微的隱函數(shù)。例如：在點(diǎn)(0,1)的某個鄰域內(nèi)由方程可以確定唯一的。在點(diǎn)(