【正文】 算上的三重積分，其中二重積分能用極坐標(biāo)來計(jì)算（極坐標(biāo)系下的二重積分）。例：，D由上半球面和拋物面所圍的區(qū)域。2．球面坐標(biāo)變換球面坐標(biāo)：設(shè)空間一點(diǎn)在平面上的投影為，是有向線段與軸的正向之間的交角（），是兩平面與的交角（），則叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)。在球面坐標(biāo)中，有三族坐標(biāo)平面：=常數(shù)，以原點(diǎn)為中心的球面；=常數(shù)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸為軸的圓錐面；=常數(shù)，過軸的柱面（兩兩正交是正交坐標(biāo)系）。有時(shí)，取作為，這時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與它的球面坐標(biāo)的點(diǎn)系為：，而。令，則=。例：求球面和錐面所圍區(qū)域的體積，其中錐面是以軸為軸，頂角為的錐面。167。3積分在物理上的應(yīng)用一質(zhì)心設(shè)為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數(shù)是。又假設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)。則幾何體的質(zhì)心的坐標(biāo)為：。具體地說，如果幾何體是一塊空間體積，那么這塊體積的質(zhì)心坐標(biāo)應(yīng)為：。例：矩設(shè)為一塊可度量的幾何形體，它的密度函數(shù)為，并設(shè)在上連續(xù)。分別稱，為物體關(guān)于坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面的階矩。當(dāng)時(shí)稱為零階矩，表示物體的質(zhì)量。當(dāng)時(shí)稱為靜矩。當(dāng)時(shí)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例：計(jì)算由平面，所圍成的均勻物體（設(shè)）對(duì)于坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例：：：設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比,引力設(shè)為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數(shù)是，為上的連續(xù)函數(shù)。為外一點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)具有單位質(zhì)量。則幾何體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量，分別為:，其中為引力常數(shù)。例：設(shè)球體具有均勻的密度,求對(duì)球外一點(diǎn)(質(zhì)量為1)的引力。167。4廣義重積分對(duì)于重積分，也可以作兩方面的拓廣：無界區(qū)域上的積分和無界函數(shù)的積分。定義1設(shè)是平面上一無界區(qū)域，函數(shù)在上各點(diǎn)有定義，當(dāng)曲線連續(xù)變動(dòng)時(shí)，使所劃出的區(qū)域無限擴(kuò)展而趨于區(qū)域時(shí)，如果不論的形狀如何，也不論擴(kuò)展的過程怎樣，而常有同一極限值，就稱是函數(shù)在無界區(qū)域上的二重積分，記為,這時(shí)也稱函數(shù)在上的積分收斂。否則，稱積分是發(fā)散的。柯西判別法設(shè)在無界區(qū)域上的任意有界區(qū)域上二重積分存在，如果在內(nèi)相當(dāng)遠(yuǎn)處滿足。其中為正的常數(shù)，是到原點(diǎn)的距離，且，那么積分收斂。例：計(jì)算廣義重積分。例：討論廣義重積分的收斂性。定義2設(shè)在有界區(qū)域上有奇點(diǎn)或奇線（函數(shù)在這些點(diǎn)或線的附近無界）。以中的光滑曲線來隔開奇點(diǎn)或奇線，這些積分的極限值存在且與的取法和收縮的方式無關(guān)，則稱這極限值是上的無界函數(shù)的廣義二重積分，記為。并稱函數(shù)在上的積分收斂。否則，稱積分是發(fā)散的?？挛髋袆e法設(shè)在內(nèi)有奇點(diǎn)，如果對(duì)于和充分鄰近的點(diǎn)，有。其中為正的常數(shù)，是與點(diǎn)的距離，且，那么積分收斂。例：計(jì)算廣義重積分。例：討論廣義重積分的收斂性。第21章曲線積分和曲面積分的計(jì)算167。1第一類曲線積分的計(jì)算設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則。特別地，如果曲線為一條光滑的平面曲線，它的方程為，那么有。例：設(shè)是半圓周,。求。例：設(shè)是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段，計(jì)算第一類曲線積分。例：計(jì)算積分，其中是球面被平面截得的圓周。例：求，此處為連接三點(diǎn)，的直線段。167。2第一類曲面積分的計(jì)算一曲面的面積（1）設(shè)有一曲面塊，它的方程為。具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則該曲面塊的面積為。（2）若曲面的方程為,令，則該曲面塊的面積為。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。二化第一類曲面積分為二重積分（1）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。曲面的方程為。具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則。（2）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。若曲面的方程為令，則。例：計(jì)算，是球面。例：計(jì)算，其中為螺旋面的一部分：。注：第一類曲面積分通過一個(gè)二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：I=，是球面，球心在原點(diǎn)，半徑為。167。3第二類曲線積分一變力做功和第二類曲線積分的定義。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問題，得。定義1設(shè)是一條光滑或逐段光滑曲線，且設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，將沿確定方向從起點(diǎn)開始用分點(diǎn)分成個(gè)有向弧段，直至終點(diǎn)。且設(shè)。在每一弧段上任取一點(diǎn)，作和式：。其中為起點(diǎn)，為終點(diǎn)。設(shè)，這里表示有向線段的長度。若當(dāng)時(shí)，和有極限，且它與的分法無關(guān)，也與點(diǎn)的選擇無關(guān)，則稱為沿曲線按所述方向的第二類曲線積分，記作或。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為。注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關(guān)的。這是第二類曲線積分的一個(gè)很重要性質(zhì)，也是它區(qū)別于第一類曲線積分的一個(gè)特征。注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環(huán)行時(shí)，如閉路所圍成的區(qū)域靠近這人的部分總在他的左方，則這個(gè)方向就算作正向，否則就算作負(fù)向。這時(shí)只要方向不變，曲線積分的值是與起點(diǎn)的位置無關(guān)的。二第二類曲線積分的計(jì)算設(shè)曲線自身不相交，其參數(shù)方程為：。且設(shè)是光滑的。設(shè)當(dāng)參數(shù)從調(diào)地增加到時(shí)，曲線從點(diǎn)按一定方向連續(xù)地變到點(diǎn)。設(shè)函數(shù)定義在曲線上，且設(shè)它在上連續(xù)。則。（*）注：（*）積分下限必須對(duì)應(yīng)積分所沿曲線的起點(diǎn)，上限必須對(duì)應(yīng)終點(diǎn)。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為例：計(jì)算積分,L的兩個(gè)端點(diǎn)為A（1,1),B（2,3).積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合,路徑為（1）直線段AB；（2）拋物線；（3）折線閉合路徑A（1,1)D（2,1)B（2,3)A（1,1)。.例：計(jì)算積分,這里L(fēng):（1）沿拋物線從點(diǎn)O（0,0)到點(diǎn)B（1,2)；（2）沿直線從點(diǎn)O（0,0)到點(diǎn)B（1,2)；（3）沿折線封閉路徑O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).例：計(jì)算第二型曲線積分I=,其中L是螺旋線，從到的一段。三兩類曲線積分的聯(lián)系第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯(lián)系。兩者之間的聯(lián)系式為例：證明：對(duì)于曲線積分的估計(jì)式為。利用這個(gè)不等式估計(jì)：,并證明。例：設(shè)平面區(qū)域由一連續(xù)閉曲線所圍成，區(qū)域面積設(shè)為，推導(dǎo)用曲線積分計(jì)算面積的公式為：。167。4第二類曲面積分一曲面的側(cè)的概念1．單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面在實(shí)際生活中碰到的都是雙側(cè)曲面，至于單側(cè)曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個(gè)典型例子。2．曲面的上側(cè)和下側(cè)，外側(cè)和內(nèi)側(cè)雙側(cè)曲面的定向:曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、,則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個(gè)分量,即選“+”號(hào)時(shí)，應(yīng)有，第二類曲面積分的定義先討論由顯式方程表示的無重點(diǎn)的光滑曲面,并設(shè)在平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線所圍成的區(qū)域。設(shè)選定了曲面的一側(cè)，從而也確定了它的定向。現(xiàn)在將有向曲面以任何方法分割為小塊。設(shè)為在平面上的投影，從而也得到區(qū)域的一個(gè)相應(yīng)分割。如果取的是上側(cè)，這時(shí)所有算作正的。如取下側(cè)，這時(shí)所有算作負(fù)的。設(shè)有界函數(shù)定義在上，在每一小塊任取一點(diǎn)，作和式其中表示的面積。由上述所見，是帶有符號(hào)的，它們的符號(hào)是由所選的側(cè)來決定的。設(shè)為的致敬，記。若當(dāng)時(shí)，有確定的極限，且與曲面分割的方法無關(guān)，也點(diǎn)的選擇無關(guān)，則稱為沿曲面的所選定的一側(cè)上的第二類曲面積分，記為。注：有時(shí)也會(huì)碰到幾個(gè)積分連在一起的情形，例如：。注：如果沿曲面的另一側(cè)積分，則所得的值應(yīng)當(dāng)變號(hào)。三兩類曲面積分的聯(lián)系及第二類曲面積分的計(jì)算第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系設(shè)為曲面的指定法向,則.定理1設(shè)是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù),以的上側(cè)為正側(cè)(即),則有.類似地,對(duì)光滑曲面D,在其前側(cè)上的積分.對(duì)光滑曲面D,在其右側(cè)上的積分.計(jì)算積分時(shí),通常分開來計(jì)算三個(gè)積分，.為此,分別把曲面投影到Y(jié)Z平面,設(shè)，是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù),則=曲面的方向?yàn)樯蟼?cè),則等式前取“＋”號(hào)。曲面的方向?yàn)橄聜?cè),則等式前取“－”：計(jì)算積分,其中是球面在部分取外側(cè)。例：計(jì)算積分，：對(duì)積分,分別用和記前半球面和后半球面的外側(cè),則有:。:.因此,=+.對(duì)積分,分別用和記右半球面和左半球面的外側(cè),則有:。:.因此,+.對(duì)積分,分別用和記上半球面和下半球面的外側(cè),則有:。:.因此,=+.綜上,=.第二十二章各種積分間的聯(lián)系和場論初步167。1各種積分間的聯(lián)系一Green公式定義1一個(gè)平面區(qū)域，如果全落在此區(qū)域內(nèi)的任一條封閉曲線都可以不經(jīng)過以外的點(diǎn)而連續(xù)地收縮為一點(diǎn)，則稱此區(qū)域?yàn)閱芜B通的，否則稱為復(fù)連通的。定理1設(shè)是以光滑曲線為邊界的平面單連通區(qū)域，設(shè)函數(shù)，在及上連續(xù)并具有關(guān)于自變量和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：這里右端積分路徑的方向是和區(qū)域正相聯(lián)系的，既當(dāng)一人沿著曲線行走時(shí)區(qū)域恒在他的左邊。注：Green公式同時(shí)揭示了平面上某區(qū)域內(nèi)的二維積分與該邊界上的一個(gè)特定的第二類曲線積分之間的關(guān)系；注：常用于第二類曲線積分，有時(shí)用來計(jì)算二重積分在Green公式中。例：求第二類曲線積分I=,是上半圓周：方向從。例：設(shè)函數(shù)，有其二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，記，證明(i)；(ii)；(3)。例：（用Green公式求曲面的面積）求曲線所圍圖形的面積。注：在使用Green公式時(shí)，應(yīng)注意“助線法”的使用。二Gauss公式定理2設(shè)空間二維單連通有界閉區(qū)域的邊界曲面是光滑的，又設(shè)函數(shù)，在及上具有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：,為曲面的外法線方向，第二個(gè)積分沿曲面的外側(cè)。注：①Gauss公式揭示了中的某區(qū)域內(nèi)的三重積分和這一區(qū)域的邊界上的特定曲面積分之間的關(guān)系；②與Green公式一樣，由Gauss公式可計(jì)算某些空間立體積分：。例：求積分I=，:沿外側(cè)。例：求積分其中是錐面。注：在使用Gauss公式時(shí)，應(yīng)注意“助面法”的使用。三Stokes公式定理3（Stokes）設(shè)光滑曲面的邊界為光滑曲線，設(shè)函數(shù)，在曲面及曲線上具有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：,曲線積分的方向和曲面的側(cè)按右手法則聯(lián)系。注：右端積分是一個(gè)第二類曲面積分，左端的積分是一個(gè)第二類曲線積分。所以Stokes公式是第二類曲面積分和第二類曲線積分的一個(gè)紐帶。例：求曲線積分，其中是柱面x和平面的交線,其方向從軸正向望去，已知方向是逆時(shí)針。167。2曲線積分和路徑的無關(guān)性引言第二類曲線積分不僅與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而且也與所沿的積分路徑有關(guān)。對(duì)同一個(gè)起點(diǎn)和同一個(gè)重點(diǎn)，沿不同的路徑所得到的第二類曲線積分一般是不相同的。在什么樣的條件下第二類曲線積分與積分路徑無關(guān)而僅與曲線的起點(diǎn)和重點(diǎn)有關(guān)呢？下面我們?cè)谄矫嬷星樾蝸碛懻撨@個(gè)問題。定理1若函數(shù)，在區(qū)域上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是單連通區(qū)域，則下列命題等價(jià)：⑴對(duì)D內(nèi)任意一條閉曲線，有。⑵對(duì)內(nèi)任意一條閉曲線，曲線積分,與路徑無關(guān)（只依賴曲線的端點(diǎn)）。⑶存在可微函數(shù)，使得內(nèi)成立；⑷在D內(nèi)處處成立。定義1當(dāng)曲線積分和路徑無關(guān)時(shí)，即滿足上面的諸條件時(shí)，如令點(diǎn)固定而點(diǎn)為區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，那么在內(nèi)連續(xù)并且單值。這個(gè)函數(shù)稱為的原函數(shù)。原函數(shù)的求法：（1）；或（2）。例：求原函數(shù):（1）。（2）。定義2只繞奇點(diǎn)一周的閉路上的積分值叫做區(qū)域的循環(huán)常數(shù)，記為。于是，對(duì)內(nèi)任一閉路，這里為沿逆時(shí)針方向繞的圈數(shù)。例：證明關(guān)于奇點(diǎn)的循環(huán)常數(shù)是，從而積分與路徑無關(guān)。167。3場論初步一場的概念物理量在空間或一部分空間上的分布就稱為場。場分為不定常場和定常場。二向量場的散度和旋度設(shè)有一向量場，為一閉曲面所包圍的空間區(qū)域，為曲面上向外法線，由高斯公式得。定義1量稱為向量的散度，它形成一個(gè)數(shù)量場，記為。利用散度的定義，高斯公式可寫為，這是高斯公式向量形式。它說明：向量通過閉曲面的流量等于這個(gè)向量的散度在所包圍的區(qū)域上的三重積分。定義2稱向量為向量的旋度，記為：。利用的定義，Stokes公式可改寫為向量形式如下：。它說明：向量沿閉曲線的環(huán)流量等于它的旋度通過以為邊界所張的任意曲面的流量。散度和旋度的定義。例：求在點(diǎn)的散度和旋度。例：證明。