【導讀】會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。如圖1．1-1，固定?B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。C的大小的增大而增大。用一個等式把這種關系精確地表示出來？從而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC??ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究。由向量的加法可得ABACCB??類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。因為0＜B＜0180，所以064?勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

　　

【正文】 本性質(zhì)： （ 1） ,a b b c a c? ? ? ? （ 2） a b a c b c? ? ? ? ? （ 3） ,0a b c ac bc? ? ? ? （ 4） ,0a b c ac bc? ? ? ? 探索研究 思考，利用上述不等式的性質(zhì)，證明不等式的下列性質(zhì)： 第 27 頁 共 58 頁 （ 1） ,a b c d a c b d? ? ? ? ? ?； （ 2） 0 , 0a b c d ac bd? ? ? ? ? ?； （ 3） 0 , , 1 。nn nna b n N n a b a b? ? ? ? ? ? ?。 證明： 1） ∵ a＞ b， ∴ a ＋ c ＞ b ＋c． ① ∵ c＞ d， ∴ b ＋ c ＞ b ＋d． ② 由 ① 、 ② 得 a＋ c＞ b＋ d． 2） bdacbdbcbdc bcaccba ????????? ???? 0, 0, 3）反證法）假設 nn ba? ， 則： 若 nnnna b a ba b a b? ? ?? ? ?這都與 ba? 矛盾， ∴ nn ba? ． [范例講解 ]： 例 已知 0, 0,a b c? ? ? 求證 ccab?。 證明：以為 0ab?? ，所以 ab0, 1 0ab?。 于是 11abab ab? ? ?，即 11ba? 由 c0 ，得 ccab? 1 課本 P82 的練習 3 在以下各題的橫線處適當?shù)牟坏忍枺? (1)（ 3 ＋ 2 ） 2 ６＋ 2 6 ； （ 2）（ 3 － 2 ） 2 （ 6 － 1） 2； （ 3）251? 561?； 第 28 頁 共 58 頁 (4)當 a＞ b＞ 0 時， log21a log21b 答案： (1)＜ （ 2）＜ （ 3）＜ （ 4）＜ [補充例題 ] 例 比較 (a＋ 3)（ a－５）與（ a＋ 2）（ a－ 4）的大小。 分析：此題屬于兩代 數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負 (注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關緊要 )。根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小。比較兩個實數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算符號問題。 解：由題意可知： （ a＋ 3）（ a－５）－（ a＋ 2）（ a－ 4） ＝（ a2－ 2a－ 1５）－（ a2－ 2a－８） ＝－７＜ 0 ∴（ a＋ 3）（ a－５）＜（ a＋ 2）（ a－ 4） 隨堂練習 2 比較大?。? （ 1）（ x＋５）（ x＋７）與（ x＋６） 2 （ 2） 225 6 2 5 9x x x x? ? ? ?與 本節(jié)課學習了不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明了一些簡單的不等式，還研究了如何比較兩個實數(shù)（代數(shù)式）的大小 —— 作差法，其具體解題步驟可歸納為： 第一步：作差并化簡，其目標應是 n 個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式； 第二步：判斷差值與零的大小關系，必要時須進行討論； 第三步：得出結(jié)論 課本 P83 習題 [A 組 ]第 3 題； [B 組 ]第 1 題 課題 : 167。 一元二次不等式及其解法 第 1 課時 授課類型： 新授課 【教學目標】 1．知識與技能：理解一元二次方程、一 元二次不等式與二次函數(shù)的關系，掌握圖象法解一元二次不等式的方法；培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)分類討論的思想方法，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力； 2．過程與方法：經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法； 3．情態(tài)與價值：激發(fā)學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。 【教學重點】 從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教學難點】 理解二次函數(shù)、一元二次方程 與一元二次不等式解集的關系。 第 29 頁 共 58 頁 【教學過程】 從實際情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材 P84 互聯(lián)網(wǎng)的收費問題 教 師 引 導 學 生 分 析 問 題 、 解 決 問 題 ， 最 后 得 到 一 元 二 次 不 等 式 模 型 ：2 50xx??…………………………(1) 1） 一元二次不等式的定義 象 2 50xx??這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的不等式，稱為一元二次不等式 2） 探究一元二次不等式 2 50xx??的解集 怎樣求不等式（ 1）的解集呢？ 探究： （ 1）二次方程的根與二次函數(shù)的零點的關系 容易知道：二次方程的有兩個實數(shù)根： 120, 5xx?? 二次函數(shù)有兩個零點： 120, 5xx?? 于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數(shù)的零點。 （ 2）觀察圖象，獲得解集 畫出二次函數(shù) 2 5y x x??的圖象，如圖，觀察函數(shù)圖象，可知： 當 x0，或 x5 時，函數(shù)圖象位于 x 軸上方，此時， y0,即 2 50xx??； 當 0x5 時，函數(shù)圖象位于 x 軸下方，此時， y0,即 2 50xx??； 所以，不等式 2 50xx??的解集是 ? ?| 0 5xx?? ，從而解決了本節(jié)開始時提出的問題。 3） 探究一般的一元二次不等式的解法 任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 ， 總 可 以 化 為 以 下 兩 種 形 式 ：220 , ( 0) 0 , ( 0)ax bx c a ax bx c a? ? ? ? ? ? ? ?或 一般地，怎樣確定一元二次不等式 cbxax ??2 0 與 cbxax ??2 0 的解集呢？ 組織討論： 從上面的例子出發(fā)，綜合學生的意見，可以歸納出確定一元二次不等式的解集，關鍵要考慮以下兩點： (1)拋物線 ?y cbxax ??2 與 x 軸的相關位置的情況，也就是一元二次方程 cbxax ??2 =0的根的情況 (2)拋物線 ?y cbxax ??2 的開口方向，也就是 a 的符號 第 30 頁 共 58 頁 總結(jié)討論結(jié)果： （ l）拋物線 ?y cbxax ??2 （ a 0）與 x 軸的相關位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程 cbxax ??2 =0 的判別式 acb 42 ??? 三種取值情況 (Δ 0， Δ=0， Δ0）來確定 .因此，要分二種情況討論 （ 2） a0 可以轉(zhuǎn)化為 a0 分 ΔO， Δ=0， Δ0 三種情況，得到一元二次不等式 cbxax ??2 0 與 cbxax ??2 0 的解集 一元二次不等式 ? ?000 22 ??????? acbxaxcbxax 或的解集： 設相應的一元二次方程 ? ?002 ???? acbxax 的兩根為 2121 xxxx ?且、 ， acb 42 ??? ，則不等式的解的各種情況如下表： (讓學生獨立完成課本第 86 頁的表格 ) 0?? 0?? 0?? 二次函數(shù) cbxaxy ??? 2 （ 0?a ）的圖象 cbxaxy ??? 2 cbxaxy ??? 2 cbxaxy ??? 2 一元二次方程 ? ?的根0 02? ???a cbxax 有兩相異實根 )(, 2121 xxxx ? 有兩相等實根 abxx 221 ??? 無實根 的解集)0( 02? ???a cbxax ? ?21 xxxxx ?? 或 ?????? ?? abxx 2 R 的解集)0( 02? ???a cbxax ? ?21 xxxx ?? ? ? [范例講解 ] 例 2 (課本第 87 頁 )求不等式 0144 2 ??? xx 的解集 . 解：因為 210144,0212 ??????? xxxx 的解是方程. 第 31 頁 共 58 頁 所以，原不等式的解集是?????? ?21xx 例 3 (課本第 88 頁 )解不等式 0322 ???? xx . 解：整理，得 0322 ??? xx . 因為 032,0 2 ????? xx方程 無實數(shù)解， 所以不等式 0322 ??? xx 的解集是 ? . 從而，原不等式的解集是 ? . 課本第 89 的練習 1（ 1）、（ 3）、（ 5）、（ 7） 解一元二次不等式的步驟： ① 將二次項系數(shù)化為“ +”： A= cbxax ??2 0(或 0)(a0) ② 計算判別式 ? ，分析不等式的解的情況： ⅰ . ? 0 時，求根 1x 2x ，??? ??? ??? .002121 xxxA xxxA ，則若 ；或，則若 ⅱ . ? =0 時，求根 1x ＝ 2x ＝ 0x ，???????????.00000xxAxAxxA，則若；，則若的一切實數(shù)；，則若? ⅲ . ? 0 時，方程無解，??? ?? ?? .00 ?xA RxA ，則若 ；，則若 ③ 寫出解集 . 課本第 89 頁習題 [A]組第 1 題 課題 : 167。 一元二次不等式及其解法 第 2 課 時 授課類型： 新授課 【教學目標】 1．知識與技能：鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系；進一步熟練解一元二次不等式的解法； 2．過程與方法：培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力； 3．情態(tài)與價值：激發(fā)學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會從不同側(cè)面觀察同一事物思想 第 32 頁 共 58 頁 【教學重點】 熟練掌握一元二次不等式的解法 【教學難點】 理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關系 【教學過程】 1．一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關 系 2．一元二次不等式的解法步驟 —— 課本第 86 頁的表格 [范例講解 ] 例 1 某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離 s m 和汽車的速度 x km/h 有如下的關系： 21120 180s x x?? 在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于 ，那么這輛汽車剎車前的速度是多少？（精確到 ） 解：設這輛汽車剎車前的速度至少為 x km/h，根據(jù)題意，我們得到 211 3 9 .52 0 1 8 0xx?? 移項整理得： 2 9 7110 0xx? ? ? 顯然 0? ，方程 2 9 7110 0xx? ? ?有兩個實數(shù)根，即 4 , 4xx? ? ?。所以不等式的解集為 ? ?| 4 , 4x x x? ? ?或 在這個實際問題中， x0，所以這輛汽車剎車前的車速至少為 例 一個汽車制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量 x（輛）與創(chuàng)造的價值 y（元）之間有如下的關系： 22 220y x x? ? ? 若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收 6000 元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應該生產(chǎn)多少輛摩托車？ 解：設在一個星期內(nèi)大約應該生產(chǎn) x 輛摩托車，根據(jù)題意，我們得到 22 22 0 60 00xx? ? ? 移項整理，得 2 11 0 30 00 0xx? ? ? 因為 100 0??，所以方程 2 11 0 30 00 0xx? ? ?有兩個實數(shù)根 1250, 60xx?? 由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為： 50x60 因為 x 只能取正整數(shù)，所以，當這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51— 59 輛之間時，這家工廠能夠獲得 6000 元以上的收益。 3．隨堂練習 1 第 33 頁 共 58 頁 課本第 89 頁練習 2 [補充例題 ] ▲ 應用一（一元二次不等式與一元二次方程的關系） 例：設不等式 2 10ax bx? ? ? 的解集為 13{ | 1 }xx? ? ? ，求 ab? ▲ 應用二（一元二次不 等式與二次函數(shù)的關系） 例：設 22{ | 4 3 0 }, { | 2 8 0 }A x x x B x x x a? ? ? ? ? ? ? ? ?，且 AB? ，求 a 的取值范圍 . 改： 設 2 2 8 0x x a? ? ? ?對于一切 (1,3)x? 都成立，求 a 的范圍 . 改： 若方程 2 2 8 0x x