北師大版高中數(shù)學必修523解三角形的實際應用舉例之二-資料下載頁
2024-11-18 13:30本頁面
【導讀】余弦定理：a2＝②________，b2＝③。1．仰角和俯角：與目標視線。2．方位角：從指北方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目。3．坡度與坡角：把坡面的鉛直高度h與水。1．審題：弄清題意，分清已知與所求，2．畫圖：將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和。3．建模：將要求解的問題歸結(jié)到一個或。余弦定理等數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；4．求模：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)。論．演算過程要算法簡練，計算準確；5．還原：把用數(shù)學方法得到的結(jié)論，還。運用正弦定理、余弦定理解三角形應用問。④檢驗解出的答案是否具有實際意義，對。②仰角與俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線與。水平線的夾角，當視線在水平線之上時，上右圖，或稱北偏東60°.平角，如南偏西60°，指從正南方向為始邊，余弦定理，有時也會用到周長和面積公式，[例1]某觀測站C在城A的南偏西20°的方。米后到達D處，此時CD間的距離為21千米，
【正文】 D＝ x為未知量，但 x難以直接與上述諸已知量發(fā)生聯(lián)系，故設(shè) ∠ DAC＝ θ為輔助未知量，以揭示 x與諸已知量之間的數(shù)量關(guān)系，作為溝通橋梁． 解析： 在 △ A DE 中，hs i n ? γ － θ ?＝xs i n ? 90 176。 － γ ?， 即xc o s γ＝hs i n ? γ － θ ?. ① 在 △ A C D 中， CD ＝ x s i n θ ， AC ＝ x c o s θ . 在 △ ABC 中， BC ＝ AC c os β ＝ x c o s θ c o s β . 在 △ B C D 中， t a n α ＝CDBC＝t a n θc o s β. ② 由 ① 推得 x ＝h c o s γs i n ? γ － θ ?. ③ 由 ② 推得 t a n θ ＝ t a n α c o s β ， 即 θ ＝ a r c tan ( tan α c os β ) ，代入 ③ 即得樹在坡面上的影長 x ＝h c os γsin[ γ － a r c tan ? tan α c os β ? ]. ? [例 6] (一題多解 )在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市 O(如下圖 )的東偏南 θ(θ＝ arccos )方向 300 km的海面 P處，并以 20 km/h的速度向西偏北 45176。 的方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為 60 km，并以10 km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？ ? 分析： 本題可以直接進行求解，也可以運用坐標法求解． ? 解析： 解法 1：設(shè) t h后臺風中心為 Q，此時臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑為 (10t＋ 60)km，若在 t時刻城市 O受到臺風的侵襲，則OQ≤ 10t＋ 60. ? 由余弦定理知， ? OQ2＝ PQ2＋ PO2－ 2PQPOcos∠ OPQ. ? 由于 PO＝ 300， PQ＝ 20t， c os ∠ OP Q ＝ c os( θ － 45176。 ) ＝ c os θ c os45176。 ＋ sin θ sin4 5176。 ＝21022＋ 1 －2102 22＝45， ∴ OQ2＝ 202t2－ 9600 t＋ 3002， ∴ 202t2－ 9600 t＋ 3002≤ ( 10 t＋ 60)2， 即 t2－ 36 t＋ 288 ≤ 0 ，解得 12 ≤ t ≤ 24. ? 解法 2：以 O為原點，正東方向為 x軸的正半軸，建立坐標系，如圖所示． 在 t 時刻，臺風中心 P－( x－， y－) 的坐標為 ??????? x－＝ 300 210－ 20 22t，y－＝－ 300 7 210＋ 20 22t . 則此時臺風侵襲的區(qū)域是 ( x － x－)2＋ ( y －y－)2≤ [ r ( t )]2，其中 r ( t ) ＝ 10 t＋ 60. 若在 t 時刻城市 O 受到臺風侵襲，則有 (0 － x－)2＋ (0 － y－)2≤ (10 t＋ 60)2， 即 ( 300 210－ 20 22t )2＋ ( － 300 7 210＋ 20 22t )2≤ ( 10 t＋ 60)2， 即 t2－ 36 t＋ 288 ≤ 0 ， 解得 12 ≤ t ≤ 24. 答： 12 小時后該城市開始受到臺風的侵襲． ? [變式訓練 6] (2020海南卷 )為了測量兩山頂 M，N間的距離，飛機沿水平方向 A， B兩點進行測量． A， B， M， N在同一個鉛垂平面內(nèi) (如示意圖 )．飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和 A， B間的距離．請設(shè)計一個方案，包括： ① 指出需要測量的數(shù)據(jù) (用字母表示，并在圖中標出 )； ② 用文字和公式寫出計算 M， N間的距離的步驟． ? 解析： 方案 1： ① 需要測量的數(shù)據(jù)有： A點到 M、 N點的俯角 α1， β1， B點到 M、 N的俯角 α2， β2； A， B間的距離 d(如圖所示 )． ② 第一步：計算 AM .由正弦定理得 AM ＝d sin α2sin ? α1＋ α2?； 第二步：計算 AN .由正弦定理得 AN ＝d sin β2sin ? β2－ β1?； 第三步：計算 M N .由余弦定理得 MN ＝ AM2＋ AN2－ 2 AM AN c os ? α1－ β1? . 方案 2 ： ① 需要測量的數(shù)據(jù)有： A 點到 M ， N 點的俯角 α1， β1； B 點到 M ， N 點的俯角 α2，β2； A ， B 間的距離 d ( 如圖所示 ) ． ② 第一步：計算 BM .由正弦定理得 BM ＝d sin α1sin ? α1＋ α2?； 第二步：計算 BN .由正弦定理得 BN ＝d sin β1sin ? β2－ β1?； 第三步：計算 MN .由余弦定理得 MN ＝ BM2＋ BN2＋ 2 BM BN c os ? β2＋ α2? . ? 同步檢測訓練
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