高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案(第30講)解三角形及應(yīng)用舉例-資料下載頁
2025-06-07 23:55本頁面
【正文】 ：== （*）∵∠C=60176。，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab∴a2+b2=ab+c2代入（*）式得=1答案：111在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍解：∵b2=ac，∴cosB===（+）－≥∴0＜B≤，y===sinB+cosB=sin（B+）∵＜B+≤，∴＜sin（B+）≤1故1＜y≤12已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為（1）求∠C；（2）求△ABC面積的最大值解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2（－）=（a－b）又∵R=，∴a2－c2=ab－b2∴a2+b2－c2=ab∴cosC==又∵0176。＜C＜180176。，∴C=60176。（2）S=absinC=ab=2sinAsinB=2sinAsin（120176。－A）=2sinA（sin120176。cosA－cos120176。sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A－sin2Acos2A+=sin（2A－30176。）+∴當(dāng)2A=120176。，即A=60176。時(shí)，Smax=13在△ABC中，BC=a，頂點(diǎn)A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動(dòng)，求的取值范圍解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=，sinC=（圖略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA==（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤=所以k2－k+1≤0，所以≤k≤所以的取值范圍為［，］課前后備注 例1 已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，y=cotA+（1）若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論（2）求y的最小值解：（1）∵y=cotA+=cot A+=cot A+=cotA+cotB+cotC，∴任意交換兩個(gè)角的位置，y的值不變化（2）∵cos（B－C）≤1，∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=故當(dāng)A=B=C=時(shí)，ymin=評(píng)述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型題，y的表達(dá)式的表面不對(duì)稱性顯示了問題的有趣之處第（2）問實(shí)際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥例2 在△ABC中，sinA=，判斷這個(gè)三角形的形狀分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可由三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）所以a2=b2－bc+c2+bc所以a2=b2+c2所以△ABC是直角三角形評(píng)述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0用心 愛心 專心
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