【正文】 ， 10c? ， 030B? ，試判斷此 三角形的解的情況。 分析：由余弦定理可知 2 2 22 2 22 2 2是 直 角 ABC 是 直 角 三 角 形是 鈍 角 ABC 是 鈍 角 三 角 形是 銳 角a b c Aa b c Aa b c A? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ABC 是 銳 角 三 角 形? （注意： 是 銳 角A ? ABC 是 銳 角 三 角 形? ） 解： 2 2 27 5 3??，即 2 2 2a b c??， ∴ ABC 是 鈍 角 三 角 形? 。 [隨堂練習(xí) 1] （ 1） 在 ? ABC 中，已知 80a? ， 100b? ， 045A?? ，試判斷此 三角形的解的情況。下面進(jìn)一步來研究這種情形下解三角形的問題。 ●教學(xué)重點(diǎn) 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形； 三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。 ●板書設(shè)計(jì) ●授后記 第 7 頁 共 58 頁 課題 : 167。 [例題分析 ] 例 1．在 ? ABC 中，已知 23?a ， 62??c ， 060?B ，求 b 及 A ⑴解：∵ 2 2 2 2 co s? ? ?b a c a c B = 22(2 3 ) ( 6 2 ) 2 2 3 ( 6 2 )? ? ? ? ? ?cos 045 = 212 ( 6 2 ) 4 3 ( 3 1)? ? ? ? =8 ∴ 2 2.?b 求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵ cos 2 2 2 2 2 2( 2 2 ) ( 6 2 ) ( 2 3 ) 1 ,222 2 2 ( 6 2 )? ? ? ? ?? ? ?? ? ?b c aA bc ∴ 060.?A 解法二：∵ sin 023sin sin 4 5 ,22? ? ?aABb 又∵ 62? ＞ ,?? 23＜ 2 ,?? ∴ a ＜ c ，即 0 ＜ A ＜ 090, ∴ 060.?A 第 6 頁 共 58 頁 評述：解法二應(yīng)注意確定 A 的取值范圍。 由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。 余弦定理 授課類型： 新授課 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。 Ⅲ .課堂練習(xí) 第 5 頁練習(xí)第 1（ 1） 、 2（ 1）題。 [例題分析 ] 例 1．在 ?ABC 中，已知 ?A ， ?B ， ?a cm，解三角形。如圖 1． 12，在 Rt? ABC 中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 sina Ac? ， sinb Bc? ，又 sin 1 cC c?? , A 則 sin sin sina b c cA B C? ? ? b c 從而在 直角三角形 ABC 中， sin sin sina b cA B C?? C a B (圖 1． 12) 思考：那么對于任意的 三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ （由學(xué)生討論 、分析） 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖 1． 13，當(dāng) ? ABC 是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊 AB 上的高是 CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有 CD= sin sina B b A? ,則 sin sinabAB? ， C 同理可得 sin sincbCB? ， b a 從而 sin sinabAB? sincC? A c B 第 2 頁 共 58 頁 (圖 1． 13) 思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。 ●教學(xué)難點(diǎn) 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。 1． 1． 1 正弦定理 授課類型： 新授課 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用 正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。 過程與方法： 讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā) ,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出 正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。 ●教學(xué)過程 Ⅰ .課題導(dǎo)入 如圖 1． 11，固定 ? ABC 的邊 CB 及 ? B，使邊 AC 繞著頂點(diǎn) C轉(zhuǎn)動。 （證法二）：過點(diǎn) A 作 j AC? ， C 由向量的加法可得 AB AC CB?? 則 ()j AB j AC CB? ? ? ? A B ∴ j AB j AC j CB? ? ? ? ? j ? ? ? ?00c o s 9 0 0 c o s 9 0? ? ? ?j A B A j CB C ∴ sin sin?c A a C ，即 sin sin?acAC 同理，過點(diǎn) C 作 ?j BC ，可得 sin sin?bcBC 從而 sin sinabAB? sincC? 類似可推出，當(dāng) ? ABC 是鈍角三角形時(shí)， 以上關(guān)系式仍然成立。 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， 0180 ( )? ? ?C A B 0 0 0180 ( )? ? ? ? ； 根據(jù)正弦定理， 第 3 頁 共 58 頁 00s in 4 2 . 9s in 8 1 . 8 8 0 . 1 ( )s in s in 3 2 . 0? ? ?aBb c mA； 根據(jù)正弦定理， 00s in 4 2 . 9s in 6 6 . 2 7 4 . 1 ( ) .s in s in 3 2 . 0? ? ?aCc c mA 評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。 [補(bǔ)充練習(xí) ]已知 ? ABC 中， sin :sin :sin 1:2 :3A B C ?，求 ::abc （答案： 1： 2： 3） Ⅳ .課時(shí)小結(jié) （由學(xué)生歸納總結(jié)） （ 1）定理的表示形式： sin sinabAB? sincC?? ? ?0s i n s i n s i na b c kkA B C?? ???? ； 或 sina k A? ， sinb k B? ， sinc k C? ( 0)k? （ 2） 正弦定理的應(yīng)用范圍： ① 已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。 過程與方法： 利用向量的數(shù)量積推出 余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題 情感態(tài)度與價(jià)值觀： 培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù) 、 余弦定理 、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與 辯證統(tǒng)一。 A 如圖 1． 15，設(shè) CB a? ， CA b? ， AB c? ，那么 c a b?? ，則 b c ? ?? ?222 2 2c c c a b a ba a b b a ba b a b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? C a B 從而 2 2 2 2 cosc a b ab C? ? ? (圖 1． 15) 同理可證 2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? 2 2 2 2 cosb a c ac B? ? ? 于是得到以下定理 余弦定理 ：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。 例 2．在 ? ABC 中，已知 ?a cm ， ?b cm ， ?c cm ，解三角形 （見課本第 8 頁例 4，可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)行理解） 解：由余弦定理的推論得： cos 2 2 22???b c aA bc 2 2 28 7 .8 1 6 1 .7 1 3 4 .62 8 7 .8 1 6 1 .7??? ?? ,? 05620??A ； cos 2 2 22???c a bB ca 2 2 21 3 4 .6 1 6 1 .7 8 7 .82 1 3 4 .6 1 6 1 .7??? ?? ,? 03253??B ； 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 56 20 32 53 )??? ? ? ? ? ?C A B Ⅲ .課堂練習(xí) 第 8 頁練習(xí)第 1（ 1） 、 2（ 1）題。 1． 1． 3 解三角形的進(jìn)一步討論 授課類型： 新授課 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。 ●教學(xué)難點(diǎn) 正 、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的 綜合運(yùn)用。 Ⅱ .講授新課 [探索研究 ] 例 1． 在 ? ABC中，已知 ,abA ， 討論三角形解的情況 分析：先由 sinsin bAB a? 可進(jìn)一步求出 B； 則 0180 ( )C A B? ? ? 從而 sinaCc A? 1．當(dāng) A 為鈍角或直角時(shí)，必須 ab? 才能有且只有一解；否則無解。 （ 2）在 ? ABC 中，若 1a? ， 12c? ， 040C?? ，則符合題意的 b 的值有 _____個(gè)。 [隨堂練習(xí) 2] （ 1）在 ? ABC 中，已知 sin :sin :sin 1:2 :3A B C ?，判斷 ? ABC 的類型。 （ 2）設(shè) x、 x+ x+2 是鈍角三角形的三邊長，求實(shí)數(shù) x 的 取值范圍。 解三角形 應(yīng)用舉例 第一課時(shí) 授課類型： 新授課 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題，了解常用的測量 相關(guān)術(shù)語 過程與方法： 首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。 分析：這是一道關(guān)于 測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題 ， 題目條件告訴了邊 AB 的對角， AC 為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出 AC 的對角，應(yīng)用正弦定理算出 AB 邊。 首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定 C、 D 兩點(diǎn)。 學(xué)生閱讀課本 4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。通過 3 道例題的安排和練習(xí)的訓(xùn)練來鞏固深化解三角形實(shí)際問題的一般方法。 解：選擇一條水平基線 HG，使 H、 G、 B 三點(diǎn)在同一條直線上。 解 :在 ? ABC 中 , ? BCA=90? +? ,? ABC =90? ? ,? BAC=? ? ,? BAD =? .根據(jù)正弦定理 , )sin( ???BC = )90sin( ???AB 所以 AB =)sin( )90sin( ?? ?? ??BC=)sin(cos?? ??BC 解 Rt? ABD 中 ,得 BD =ABsin? BAD=)sin( sincos ?? ???BC 將測量數(shù)據(jù)代入上式 ,得 BD = )1500454sin( ??? ?? ?? ?? 第 15 頁 共 58 頁 =934sin ? ??? ?? ≈ 177 (m) CD =BD BC≈ =150(m) 答 :山的高度約為 150 米 . 師：有沒有別的解法呢？ 生：若在 ? ACD 中求 CD，可先求出 AC。 解三角形 應(yīng)用舉例 第三課時(shí) 授課類型： 新授課 ●教學(xué)目標(biāo) 知識與技能： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題 過程與方法： 本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi) 容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力。 ●教學(xué)重點(diǎn)