元線性回歸模型(1)(編輯修改稿)
2025-06-03 22:35 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???????10101)(?由于 02?????iiixxk ，1)()(222222????????????????????iiiiiiiiiiiiiiixxXxxxXxxxXXXxxXxXk故： ???iik ???11? ?? ????? 1111 )()()?( ??????iiiiEkkEE? ? ? ? ???????? iiiiiiiiii wXwwXwYw ??????? 10100 )(?由于： ? ?? ????? 11)/1(iiikXkXnw ? ? ? ? ??????? 01)/1( XXXkXXnXkXnXwiiiiiii故： ???iiw ???00? ? ? ?????0000)()()()?( ??????iiiiEwEwEE三、最小方差性 最小方差性是指估計(jì)量 和 具有最小方差的性質(zhì)，又叫有效性。 1i022222()()uiuiVarXVarnxx???????????0??1??證明最小方差性 假設(shè) * 1 ? ? 是其他方法得到的關(guān)于 1 ? 的線性無(wú)偏估計(jì)量： ? ? i i Y c * 1 ? ? 其中， i i i d k c ? ? ， i d 為不全為零的常數(shù)。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i i i i i i i i i X c c X c Y E c Y c E E 1 0 1 0 * 1 ) ( ) ( ) ( ) ? ( ? ? ? ? ? 由 * 1 ? ? 的無(wú)偏性，即 1 * 1 ) ? ( ? ? ? E 可知： ? ? ? ? 1 1 0 ? ? ? i i i X c c 從而有： ? ? 0 i c ， ? ? 1 i i X c *1?? 的方差 ? ? ??????2222*1)v a r ()v a r ()v a r ()?v a r ( ???iiiiiiiccYcYc =? ? ? ?????iiiiiidkdkdk22222222)( ????由于 ?? ? ? ????2)(iiiiiiiikckkckdk =???? ??? ????????? 011222222iiiiiiiiiiixxkxcXcXkcxx故 ? ?? ????????22122222222*1)?v a r (1)?v a r (iiiiiddxdk ???????因?yàn)? ? ? 02id所以 )?v a r ()?v a r (1*1?? ?當(dāng) 0?id ， （ni ,2,1 ??）等號(hào)成立，此時(shí)：iikc ?，*1?? 就是 O L S 估計(jì)量1?? 。同理可證明 )?v a r ()?v a r ( 0*0 ?? ?S a m p l i n g d i s t r i b u t i o n o f O L S e s t i m a t o r 1?? a n d a l t e r n a t i v e e s t i m a t o r *1??11*11)?()?( ??? ?? EE1??*1??例題 人均鮮蛋需求量 Y與人均可支配收入 X關(guān)系 估計(jì)結(jié)果： （ 第 2版 教材第 32頁(yè)） （ 第 3版 教材第 29頁(yè)） 2 4 4 1 5 22 ???9 5 0 9 6 )?( 20 ??? ?V a r0 0 0 0 0 1 4 )?( 21 ??? ?V a r,1 1 5 ??(file: li21) 1415161718198 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 4 0 0 1 6 0 0xy F i t t e d va l u e s 高斯 ? 馬爾可夫定理 (GaussMarkov theorem) 在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計(jì)量是具有最小方差的線性無(wú)偏估計(jì)量。 一個(gè)估計(jì)量如果它是線性的，同時(shí)又是有效的（即無(wú)偏的， 又具有最小方差）那它就是 最佳線性無(wú)偏估計(jì)量 BLUE Best Linear Unbiased Property of an Estimator 全部估計(jì)量 線性無(wú)偏估計(jì)量 B L U E 估計(jì)量～ 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 及回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn) ? 回歸分析 是要通過(guò)樣本所估計(jì)的參數(shù)來(lái)代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說(shuō)是用樣本回歸線代替總體回歸線。 ? 盡管從 統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 上已知，如果有足夠多的重復(fù)抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)值不一定就等于該真值。 ? 那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 。 ? 主要包括 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 、變量的 顯著性檢驗(yàn)及參數(shù)的 區(qū)間估計(jì) 。 一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) ： 對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值之間擬合程度的檢驗(yàn)。 度量擬合優(yōu)度的指標(biāo) ： 判定系數(shù) （ 可決系數(shù) ）R2 總離差平方和的分解 已知由一組樣本觀測(cè)值（ Xi,Yi）， i=1,2… ,n得到如下樣本回歸直線 ii XY 10 ??? ?? ??iiiiiii yeYYYYYYy ?)?()?( ???????? 如果 Yi=?i 即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線”上，則 擬合最好 。 可認(rèn)為， “ 離差 ” 全部來(lái)自回歸線，而與“殘差”無(wú)關(guān)。 對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和 ,可以證明 ： 010101( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0i i i i ii i i i ii i ie y Y Y X YY Y Y Y Y XY e e X??????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????記 ? ? ???22 )( YYyTS S ii總體平方和 （ Total Sum of Squares） ? ? ??? 22 )?(? YYyE SS ii 回歸平方和 （ Explained Sum of Squares） ? ? ??? 22 )?( iii YYeR S S 殘差平方和 （ Residual Sum of Squares ） TSS=ESS+RSS Y的觀測(cè)值圍繞其均值的 總離差 (total variation)可分解為兩部分： 一部分來(lái)自回歸線 (ESS)，另一部分則來(lái)自隨機(jī)勢(shì)力 (RSS)。 在給定樣本中， TSS不變， 如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則 ESS在TSS中占的比重越大，因此 擬合優(yōu)度 ：回歸平方和 ESS/Y的總離差 TSS T SSR SST SSE SSR ??? 1記 2可決系數(shù) R2統(tǒng)計(jì)量 稱
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