偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)(編輯修改稿)
2025-06-03 22:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 是曲面被平面0yy ?所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線xTM 0對 x 軸的斜率 . 偏導(dǎo)數(shù) ),(00 yxf y就是曲面被平面0xx ?所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線yTM 0對 y 軸的斜率 . 幾何意義 : ),(22yxfx zxzx xx?????????? ???? ),(22yxfy zyzy yy????????????),(2yxfyx zxzy xy??????????? ???? ),(2yxfxy zyzx yx???????????????函數(shù) ),( yxfz ? 的二階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) . 二、高階偏導(dǎo)數(shù) 例 5 設(shè) 13323???? xyxyyxz ，求22xz??、xyz???yxz???22yz??及33xz??.解 xz?? ,33 322 yyyx ??? yz?? 。92 23 xxyyx ???22xz?? ,62xy? 22yz??。182 3 xyx ??33xz?? ,62y?xyz???2.196 22 ??? yyxyxz???2,196 22 ??? yyx原函數(shù)圖形 偏導(dǎo)函數(shù)圖形 偏導(dǎo)函數(shù)圖形 二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形 觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系： 例 6 設(shè) byeu ax c o s? ，求二階偏導(dǎo)數(shù) .解 ,c o s byaexu ax??? 。s i n bybeyu ax????,c o s222byeax u ax??? ,c o s222byeby u ax????,s i n2byabeyx u ax????? .s i n2byabexy u ax?????定理 如果函數(shù) ),( yxfz ? 的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)xyz???2及yxz???2在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等．問題： 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？ 例 6 驗(yàn)證函數(shù) 22ln),( yxyxu ?? 滿足拉普拉斯方程.02222?????? yuxu解 ),l n (21ln 2222 yxyx ????,22 yx xxu ?
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