測量誤差理論及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-05-27 02:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ?? ? ? ?.... . . . . .nn n nZZ x x n x x x x xn x x n n x xD K K K K K K KK K K K?方差的純量形式為： ?可見：若 DXX為對角陣時，協(xié)方差傳播律即為“ 誤差傳播律 ”。 （ 220） P11 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2ZZ Z n nD K K K? ? ? ?? ? ? ? ?2112221220000[]00xxZZ nnxnKKD K K KK????? ???? ??????? ?????? ??（ 219） P11 觀測值不相關(guān) ?由上推導(dǎo)可得出以下結(jié)論： ? 若有函數(shù) : ?純量形式： ?則函數(shù)的方差為 : 01 1 2 2? ? ? ? ?... nnZ K X K X K X K2 TZ Z Z X XD K D K???1 1 1 1 110nnZ K X K? ? ? ????以上就是已知觀測量的方差 ,求其函數(shù)方差的公式。也稱為“ 協(xié)方差傳播律 ” 。 （ 222） P11 ?舉三個例子 ? 例 : 用鋼尺分五段測量某距離，得到各段距離及相應(yīng)的中誤差如下，該求該距離 S的中誤差及相對中誤差。 S1=177。 S2=177。 S3=177。 S4=177。 S5=177。 解： ? S=S1+S2+S3+S4+S5= ? 按線性函數(shù)誤差傳播律，得 ? S的中誤差為： ? 其相對中誤差為： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 1 . 5 2 . 5 2 . 0 2 . 0 1 . 5 1 8 . 7 5 m mS? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 . 3 3 m mS? ?4 . 3 3 14 5 2 . 4 6 0 1 0 4 4 9 4SS? ??觀測值不相關(guān) 例、設(shè)有觀測值向量 的方差陣為： （ 1）試寫出各觀測值的方差以及兩兩協(xié)方差； （ 2）若有函數(shù) ，則該函數(shù) F的方差又如何？ 解： TL L L L??? ??1 2 30 8 0 2 0 10 2 0 7 0 30 1 0 3 1 0???????. . .. . .. . .LLDF L L L? ? ? ?1 2 33 7811 2 3 233 7 8 1 1 3??????? ? ? ? ?????????。 。= K L + K = KLF L L L LL? ?20 .8 0 .2 0 .1 11 1 3 0 .2 0 .7 0 .3 1 1 3 .30 .1 0 .3 1 .0 3TF F F LLD K D K?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?觀測值相關(guān) 例：已知向量 ，且 若有函數(shù)： 試求各函數(shù)的方差 。 解 ： TL L L L??? ??1 2 3LLD?????????1 0 00 2 00 0 12 2 21 2 3? ? ?? ? ?， ，L L L???L L L L LL L L L LL L L L L? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?01 1 1 2 302 2 1 2 303 3 1 2 3118031180311803（ ）（ ）（ ）^1 1 2 32 1 1 2 1 1 + 6 0 = 3 3 3 3 3 3L L L L K L K L K??? ? ? ?????。 。 。觀測值不相關(guān) ^12231 0 02 1 1 1 7= 0 2 03 3 3 3 90 0 113TLLLKD K??????? ???? ?? ??? ? ? ? ??? ?? ?????? ???????????^2 1 2 31 2 1 1 2 1 + + 6 0 = 3 3 3 3 3 3L L L L K L K L K??? ? ? ?????。 。 。22 109L? ? ?3 1 2 31 1 2 1 1 2 + + 6 0 = = +3 3 3 3 3 3L L L L K L K L K? ??? ? ? ????。 。 。22 79L? ? ? 線性函數(shù)誤差傳播率在測量工作中的應(yīng)用 ABhN??? 站? 水準(zhǔn)測量的精度 hAB A B 大地水準(zhǔn)面 HB Ｈ A 1h 2hNh12=A B nh h h h h? ? ? ??ABhS??? 千 米上兩式是水準(zhǔn)測量計算高差中誤差的基本公式。 ? 導(dǎo)線邊方位角的精度 0 1 2 180nna a n? ? ?? ? ? ? ? ? ? 。n an n ??? ?第 邊 的 中 誤 差 為 ：? 同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值精度 [] ,xLxN N???? 多個觀測值線性函數(shù)的誤差傳播律 ?設(shè)有觀測值 ，它們的期望 、方差為 若有 X的 r個線性函數(shù)為 : ?求函數(shù)的方差以及它們之間的協(xié)方差？ Xn1?1Xn?? XXnnD?（ 233） P13 ?令 : ?則 X的 t個線性函數(shù)式可寫為 : ?同樣 ,根據(jù)協(xié)方差陣的定義可得 Z的協(xié)方差陣為 : ( ( ) ) ( ( ) )( ) ( )( ) ( )TrrTXXTTXXTXXE Z E Z Z E ZZZE F X F F X FF E X X FF D FD???????? ? ?????? ? ?????? ? ????01 1 1? ? ? ???r r n n rZ F X F（ 234） P13 （ 235） P13 例 1：已知向量 ，且： 若有函數(shù)： 并記 ，試求 、 。 ???L L L L LL L L L LL L L L L? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?01 1 1 2 302 2 1 2 303 3 1 2 3118031180311803（ ）（ ）（ ）TL L L L??? ??1 2 3?????????LLD1 0 00 1 00 0 1??LLD? ? ? ? TL L L L??? ??1 2 3^21L?解：對于 ?函數(shù)式 ?利用協(xié)方差傳播律 ^12L?1^1 1 2 3 232 1 1 2 1 1 + 6 0 = 3 3 3 3 3 3LL L L L K L K L KL???? ??? ? ? ??? ????????。 。 。^12231 0 02 1 1 1 6= 0 1 03 3 3 3 90 0 113TLLLKD K??????? ???? ?? ??? ? ? ? ??? ?? ?????? ???????????? ?2 1 13 3 31 2 13 3 31 1 23 3 3TLLLLD F D F????????? ? ? ?????????11022332 1 13 3 31 2 1?3 3 31 1 23 3 3LWL L W F L FLW??????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?????????對于 ?函數(shù)式 ?利用協(xié)方差傳播律 ?本題關(guān)健是 :將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為 “ 同一 ” 變量的形式 ! ^^LLD例 2：設(shè)有觀測值向量 ,其協(xié)方差陣為 設(shè)函數(shù) ? ?1 2 3 TL L L L?4 0 00 3 00 0 2LLD???????????11223= 2 522XLY L LZ L L???? ? ?并記 ,試求 ? ?TT X Y Z? 2Z TTD? 、解： ? ?1023= 0 1 1 2LZ
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