【正文】 第二章 測(cè)量誤差理論及其應(yīng)用 ? 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性 ? 精度指標(biāo)及應(yīng)用 ? 誤差傳播律及應(yīng)用 ? 權(quán)與定權(quán)的常用方法 ? 協(xié)因數(shù)傳播律及應(yīng)用 ? 由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用 ? 本章學(xué)習(xí)的目的要求 : ?掌握偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性； ?掌握衡量精度的指標(biāo)； ?掌握常用定權(quán)方法； ?掌握誤差傳播律及協(xié)因數(shù)傳播律。 ? 重點(diǎn)、難點(diǎn) : 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性；衡 量精度的指標(biāo)以及精度和準(zhǔn)確度的聯(lián)系與區(qū)別；誤差傳播律以及協(xié)因數(shù)傳播律的應(yīng)用；定權(quán)方法。 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性 ? 幾個(gè)概念： ? 真值：任一觀測(cè)量，客觀上總是存在一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，這一數(shù)值就稱(chēng)為該觀測(cè)值 真值 ，用 表示。 ? 真誤差：真值與觀測(cè)值之差（偶然誤差），即： 真誤差（ ?） = 觀測(cè)值（ ） 真值（ ） ?測(cè)量平差研究對(duì)象是偶然誤差 ,為此 ,有必要對(duì)偶然誤差的性質(zhì)作進(jìn)一步的分析研究。 ~LL ~L? 真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如： 1）三角形內(nèi)角和等于 180度； 2）閉合水準(zhǔn)路線高差閉合差等于零； 3）往返測(cè)量一段距離，其差數(shù)的真值等于零。 ?當(dāng)觀測(cè)值只含有偶然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望就等于真值（ ），即： 真誤差（ ?） = 觀測(cè)值（ ） 數(shù)學(xué)期望（ ） ?殘差（改正數(shù)）： 改正數(shù)（ V） = 觀測(cè)值（ ） 平差值（ ） L ()ELL ^L~ ()L E L??大量實(shí)踐證明：大量偶然誤差的分布呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 ~L三角形閉合差例子 在相同觀測(cè)條件下，獨(dú)立觀測(cè)了 358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和的真誤差 ?i由下式計(jì)算： 以誤差區(qū)間 d? = ?i按其 絕對(duì)值進(jìn)行排列。統(tǒng)計(jì)出誤差落入各個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù) ，計(jì)算出其頻率 1 2 3( ) 180 ( 1 , 2 , 3 , , 358 )iiL L L i? ? ? ? ? ?iv iivfn?W W W W W W W W W W W W W W 表 121偶然誤差分布表 誤差區(qū)間 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ∑ △ 為負(fù)值 個(gè)數(shù) 頻率 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0 181 △ 為正值 個(gè)數(shù) 頻率 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0 177 誤差絕對(duì)值 個(gè)數(shù) 頻率 91 81 66 44 33 26 11 6 0 0 358 表 121偶然誤差分布表 ?從表中看出： ?絕對(duì)值最大不超過(guò)某一限值（ ）； ?絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)多； ?絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)個(gè)數(shù)大致相等。 大量的測(cè)量實(shí)踐證明，在其它測(cè)量結(jié)果中，也都顯示出上述同樣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 ?誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布 表 表達(dá)，還可用直方 圖 來(lái)表達(dá)。 一定的觀測(cè)條件對(duì)應(yīng)著一種確定的誤差分布。 ?當(dāng)誤差個(gè)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的曲線： 該圖同樣可以說(shuō)明觀測(cè)誤差特性，稱(chēng)為 “誤差分布曲線”。 2221()2fe ????????可以證明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數(shù)為： ? σ — 標(biāo)準(zhǔn)差，在測(cè)量上稱(chēng)為中誤差。當(dāng) σ不同時(shí)，曲線位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化。 ? ?l im 0 ( ) 0xEn??? ? ? ?或? 用概率的術(shù)語(yǔ)概括偶然誤差的特性如下： 一定觀測(cè)條件下，誤差絕對(duì)值有一定限值（有限性）； 絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)概率大（漸降性）； 絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)概率相同（對(duì)稱(chēng)性）； 偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零（抵償性）； ? 以上分析可知： 1）觀測(cè)誤差呈現(xiàn)偶然性； 2）偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律；（均值為零的正態(tài)隨機(jī)分變量） ? 測(cè)量平差任務(wù)之一：評(píng)定測(cè)量成果精度。 ? 當(dāng)觀測(cè)值中僅含有偶然誤差時(shí)，由統(tǒng)計(jì)學(xué)知： ~()E L L?~~~( ) ( ) 0( ) ( ) ( )LLE E L LD D L L D L? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 若觀測(cè)誤差中系統(tǒng)誤差，即 =+???總 系 偶~( ) 0()EL E L? ? ? ?? ? ?總 系系 精度指標(biāo) ? 觀測(cè)條件與觀測(cè)精度 觀測(cè)條件 ：指測(cè)量過(guò)程中的觀測(cè)者、儀器、外界條件的綜合。 ?一定的觀測(cè)條件，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布； ?可見(jiàn)： 分布曲線陡峭的說(shuō)明誤差分布密集，或者離散度小，觀測(cè)精度高些，也就是觀測(cè)條件好；另一條說(shuō)明誤差分布較為離散或者說(shuō)它的離散度大，也即觀測(cè)條件差。 ?越 小?越 大觀測(cè)精度 ： 是指一組偶然誤差分布的 密集 與 離散 的程度，是觀測(cè)值與其 期望值 接近的程度，表征觀測(cè)結(jié)果偶然誤差大小的程度 。 密 集 離 散 ?在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè)，稱(chēng)為 等精度觀測(cè)或同精度觀測(cè) 。 ? 精度與準(zhǔn)確度、精確度 ?精度： 就是指在一定觀測(cè)條件下，一組觀測(cè)值密集或離散的程度，即反應(yīng)的是： L與 E（ L） 接近程度。 ?表征觀測(cè)結(jié)果的偶然誤差大小程度。 ?精度是以觀測(cè)值 自身 的平均值為標(biāo)準(zhǔn)的。 精度高。 成績(jī)： ， ， ， ， ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 8 . 88L L L L L L L LL? ? ? ? ? ? ? ? ???成績(jī)： ， ， ， ， ， ， 0， 8 10 9 ?準(zhǔn)確度 ：是指觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。 ?表征觀測(cè)結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的程度。 ?若 觀測(cè)值數(shù)學(xué)期望與其真值得偏差越大，則準(zhǔn)確度越低 。 ()L E L? ??準(zhǔn)確度低。 精度高。 ~=+( ) 0()EL E L???? ? ? ?? ? ?總 系 偶總 系系= 1 0 8 . 8 = 1 . 2??精確度 ：是精度與準(zhǔn)確度的合成。是指觀測(cè)結(jié)果與其真值的接近程度。 ?反映偶然誤差和系統(tǒng)誤差以及粗差聯(lián)合影響大小程度。 ?若 觀測(cè)值數(shù)學(xué)期望與其真值得偏差越大，則準(zhǔn)確度越低 。 ?精確度衡量指標(biāo)是均方誤差： 2( ) ( )MSE L E L L??精度低 準(zhǔn)確度低 精確度低。 可見(jiàn)：精度高，不一定準(zhǔn)確度也高！ ? 圖 (a)表示精度、精確度均高，而準(zhǔn)確度低； ? 圖 (b)表示精度高，精確度低，而準(zhǔn)確度低； ? 圖 (c)表示精度、精確度均低，因而準(zhǔn)確度低； ? 圖 (d)表示精度、精確度均低，但準(zhǔn)確度 較 高。 當(dāng)系統(tǒng)誤差相對(duì)于偶然誤差小到可以忽略時(shí)， 精度 =精確度！ 方差 ?由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，隨機(jī)變量 X的方差定義為： ? ? ? ?????????? dxXfXEXXEXEX )())(())(( 222?2 2 222( ( ) ) ( )( ( ) ) ( )LLD E L E L ED E E E????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ????觀測(cè)值 L和觀測(cè)誤差△均為隨機(jī)變量，因此其方差為 ?當(dāng)觀測(cè)值只含 偶然誤差 時(shí)，任一 觀測(cè)值 的方差與 觀測(cè)誤差 的方差是相同的。 LLEE ~)(。0)( ??? 衡量精度的指標(biāo) ? ?nED n?????????lim)()( 22? 2() l imnE n???????? ? ?????? ? ? ?2? ?nn??? ? ? ??? 和?可見(jiàn)： ?中誤差不是代表 個(gè)別誤差 大小，而是代表誤差分布的離散度大小； ?中誤差越小，說(shuō)明絕對(duì)值較小的誤差越多！ ?由 數(shù)學(xué)期望定義， 方差（或中誤差）又可表示為：