【正文】 解： 由 11 9313645P Q Q P Q?? ???? ? ? ????? ??121 1 2 21 1 1 4 556i iiP Q Q Q? ? ? ? ?由 ， 則 P ， P22 2 2 21 0 1 1 2 0 2 22021 2 0 1 22032, = = = =551, = = 5iiiijijQ Q Q?? ? ? ????????由 則 ，由 則例： 已知觀測(cè)值向量 的協(xié)方差陣為 21L2113LLD?????????21 1 1 0 1 22=5 L L L LL Q P P?以 及 的 協(xié) 因 數(shù) ， 試 求 單 位 權(quán) 方 差 、 權(quán) 陣 P 和 、 。 31L2 0 20 4 0208LLD???????????20 =2? 12 +2F L L??201 0 1= 0 2 01 0 4LLLLDQ????????????解： ? ?101 2 23+ 2 = 1 1 0 + 2 +LF L L L K L KL????? ? ???????? ?? ?2 0 2 11 1 0 0 4 0 1 62 0 8 01 0 1 11 1 0 0 2 0 1 31 0 4 0TF LLTF LLD K D KQ K Q K? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?權(quán)陣、協(xié)因數(shù)陣、方差陣之間的聯(lián)系 例：設(shè)有觀測(cè)值向量 的權(quán)陣為 1221 []L L L?6339LLP??? ????2 2 20 1 2 12 1 2=3 LLPP? ? ? ?單 位 權(quán) 方 差 。 ?歸納協(xié)方差傳播律和協(xié)因數(shù)傳播律得： 例：已知觀測(cè)值向量 的協(xié)方差陣為 單位權(quán)方差 ，現(xiàn)有函數(shù) ，試求：（ 1）函數(shù) F的方差 DF 和協(xié)因數(shù) QF。XXY F X FZ K X K Q???? XX若 ：且 ,D 已 知 。 0 XXY F X F Q??若 ： , 且 已 知 。當(dāng)已知隨機(jī)向量的協(xié)因數(shù)陣時(shí)，求函數(shù)的協(xié)因數(shù)陣，稱之為“協(xié)因數(shù)傳播律”。 2 0 00 4 00 0 2LP???????????解： 1 2 31 2 31 1 12P P PQ Q Q? ? ? ?， =4 ， =21100210041002LLQP?????????????????????例：已知觀測(cè)向量 L的權(quán)陣為： 求觀測(cè)值 L L2的權(quán)。 例： 已知觀測(cè)向量 L的協(xié)因數(shù)陣為： 試求觀測(cè)向量 L的權(quán)陣 P及觀測(cè)值 L L2的權(quán)。 31L2 8 88 4 28 2 4LLD???????????20 =2?解： 201 4 44 2 14 1 2LLLLDQ?????????????權(quán)陣 ? 定義： 協(xié)因數(shù)陣的逆陣為權(quán)陣。 即： 2201 iii iiQ p ????2200i iii ii??????表明： 任一觀測(cè)值的 方差 總是等于單位權(quán)方差與該觀測(cè)值協(xié)因數(shù)（權(quán)倒數(shù)）的乘積。 則由權(quán)定義得： ?說(shuō)明了權(quán)有時(shí)是有量綱的。測(cè)邊的中誤差為 ，試確定它們的權(quán)。 例：如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)，各水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度分別為 （設(shè)每公里觀測(cè)高差中誤差相等）： S1=(km) S2=(km) S3=(km) S4=(km) S5=(km) S6=(km) 試確定各路線觀測(cè)高差的權(quán)。 解： 假設(shè)每千米觀測(cè)值高差的方差為 ，則 2km?2 2 2 2 2 2 2 20 km 1 km 2 km 3 km= 40 = 10 = 8 = 4? ? ? ? ? ? ? ?， ， ，202iip ???1 4 , 2 5 , 3 1 0p p p? ? ? iiCPS?iiCPN?公式的應(yīng)用前提： （ 1） 當(dāng)各測(cè)站的觀測(cè)高差為同精度時(shí)； （ 2）當(dāng)每公里觀測(cè)高差為同精度時(shí)。 ?可見(jiàn)： 權(quán)定義中， C稱為單位權(quán)方差 ,記為 σ 02。 ?對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值為 單位權(quán)觀測(cè)值 。1 2 3 4 5 6: : : : :p p p p p相等 10 ?不難看出 ? 權(quán)與方差成反比； ? 權(quán)是表征觀測(cè)值之間的 相對(duì)精度 指標(biāo)（權(quán)是不唯一的，單個(gè)權(quán) 沒(méi)意義的）； ? 選定不同的 ，權(quán)之間的比例關(guān)系依就不變； ? 對(duì)同一問(wèn)題中，為使權(quán)能起到比較精度高低的作用， C應(yīng)取同一定值 （否則就破壞了權(quán)間的比例關(guān)系）。 39。 39。2 3 4 5 61 0 , 5 , 4 , 2 . 5 , 1 . 2 5 , 1p p p p p p? ? ? ? ? ?1 2 3 4 5 6: : : : :p p p p p p39。 39。 39。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6= = = = = =S S S S S S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?千 米 千 米 千 米 千 米 千 米 千 米， ， ， ， ，定權(quán)： 設(shè)每千米觀測(cè)值高差的方差為 ，根據(jù) 2?千 米 = S??千 米而 ，則 202=iip ??1 2 3 4 5 61 , 0 . 5 , 0 . 4 , 0 . 2 5 , 0 . 1 2 5 , 0 . 1p p p p p p? ? ? ? ? ?令 ，則 2201=??令 ，則 6220 =??139。 ?定義： 設(shè)有觀測(cè)值 Li（ i=1， 2? ， n）的方差為 ，如選 任一常數(shù) ，則定義： 并稱 Pi為觀測(cè)值 Li的權(quán)。 解： ?面積 S=xy=90*50=4500（ m2） ?對(duì) S進(jìn)行全微分： ?應(yīng)用協(xié)方差傳播定律： ? ? dxdS y dx x dy y x K Ldy??? ? ? ?????? ?2222 2 2 22 2 2 200500 00 2 +9 000 0 3xTS LLyxyyK D K y xxyx??????? ???? ?? ???? ??????? ? ?例 2：設(shè)有觀測(cè)值向量 ,其協(xié)方差陣為 設(shè)函數(shù) ,試求 ? ?1 2 3 TL L L L?1 0 00 1 00 0 1LLD???????????1 2 325Z L L L? ? ?2Z?解： ?對(duì)函數(shù) Z進(jìn)行全微分： ? ?12 1 1 2 3 2 1 2322dLd Z L d L L d L d L L L d L Kd LdL????? ? ? ? ????????應(yīng)用協(xié)方差傳播定律： ? ?2222 1 12 2 1 11 0 02 0 1 00 0 1 2* * 4TZ d Z L LK D KLL L LL L L L?? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?1）按要求寫(xiě)出函數(shù)式； 2）若是非線性函數(shù)式，則先對(duì)函數(shù)式兩邊求 全微分 ； 3）將函數(shù)式（或微分關(guān)系式）寫(xiě)成 矩陣 形式（有時(shí)要顧及單位的統(tǒng)一）； 4）應(yīng)用協(xié)方差傳播律公式求 方差 或 協(xié)方差陣 。 非線性函數(shù)的誤差傳播律 ? 設(shè)有觀測(cè)值 的非線性函數(shù)為 ： 且已知 X的協(xié)方差陣 ? 求 Y的方差陣 DZZ。 ?而后者是 t個(gè)函數(shù)值的 協(xié)方差陣 （ r行 r列）。^12231 0 02 1 1 1 6= 0 1 03 3 3 3 90 0 113TLLLKD K??????? ???? ?? ??? ? ? ? ??? ?? ?????? ???????????? ?2 1 13 3 31 2 13 3 31 1 23 3 3TLLLLD F D F????????? ? ? ?????????11