高中數(shù)學(xué)不等式全部教案2(編輯修改稿)
2025-05-14 13:03 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∵x 0，y 0， ∴例三、已知：a + b + c = 0，求證：ab + bc + ca ≤ 0證一：（綜合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0 展開得： ∴ab + bc + ca ≤ 0證二：（分析法）要證ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需證 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 即證： 即： （顯然） ∴原式成立證三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b ∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2 = a2 b2 ab = 例四、（課本例）證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長(zhǎng)相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。 證：設(shè)截面周長(zhǎng)為l，則周長(zhǎng)為l的圓的半徑為，截面積為，周長(zhǎng)為l的正方形邊長(zhǎng)為，截面積為 問(wèn)題只需證： 即證： 兩邊同乘，得：因此只需證：4 p （顯然成立）∴ 也可用比較法（取商）證，也不困難。三、 作業(yè)： P18 練習(xí) 1—3 及 余下部分補(bǔ)充作業(yè)：1． 已知0 q p，證明：略證：只需證： ∵0 q p ∴sinq 0故只需證：即證： ∵1 + cosq 0只需證：即只需證：即： （成立）2． 已知a b 0，q為銳角，求證：略證：只需證： 即：（成立） 3． 設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：略證：正弦、余弦定理代入得： 即證：即：即證：（成立）第九教時(shí)教材：不等式證明四（換元法）目的：增強(qiáng)學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問(wèn)題。過(guò)程：四、 提出課題：（換元法）五、 三角換元：例一、求證：證一：（綜合法）∵即： ∴證二：（換元法） ∵ ∴令 x = cosq , q206。[0, p]則∵ ∴例二、已知x 0 , y 0，2x + y = 1，求證：證一： 即：證二：由x 0 , y 0，2x + y = 1，可設(shè) 則例三：若，求證： 證：設(shè)， 則例四：若x 1，y 1，求證： 證：設(shè) 則例五：已知：a 1, b 0 , a b = 1，求證： 證：∵a 1, b 0 , a b = 1 ∴不妨設(shè) 則 ∵, ∴0 sinq 1 ∴小結(jié)：若0≤x≤1，則可令x = sinq ()或x = sin2q ()。若，則可令x = cosq , y = sinq ()。若，則可令x = secq, y = tanq ()。若x≥1，則可令x = secq ()。若x206。R，則可令x = tanq ()。六、 代數(shù)換元：例六：證明：若a 0，則 證：設(shè)則 （ 當(dāng)a = 1時(shí)取“=” ）∴即 ∴原式成立七、 小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法，有興趣的課后還可進(jìn)一步學(xué)習(xí)。八、 作業(yè)：1． 若，求證：2． 若|a| 1，|b| 1，則3． 若|x|≤1，求證：4． 若a 1, b 0 , a b = 1，求證：5． 求證：6． 已知|a|≤1，|b|≤1，求證：第十教時(shí)教材：不等式證明五（放縮法、反證法）目的：要求學(xué)生掌握放縮法和反證法證明不等式。過(guò)程：九、 簡(jiǎn)要回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的幾種不等式證明的方法提出課題：放縮法與反證法十、 放縮法：例一、若a, b, c, d206。R+，求證：證：記m = ∵a, b, c, d206。R+ ∴ ∴1 m 2 即原式成立例二、當(dāng) n 2 時(shí)，求證： 證：∵n 2 ∴ ∴ ∴n 2時(shí), 例三、求證： 證： ∴十一、 反證法：例四、設(shè)0 a, b, c 1，求證：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同時(shí)大于 證：設(shè)(1 a)b , (1 b)c , (1 c)a ,則三式相乘：ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a ①又∵0 a, b, c 1 ∴同理：, 以上三式相乘： (1 a)a?(1 b)b?(1 c)c≤ 與①矛盾∴原式成立例五、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求證：a, b, c 0 證：設(shè)a 0, ∵abc 0, ∴bc 0 又由a + b + c 0, 則b + c = a 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 與題設(shè)矛盾 又：若a = 0，則與abc 0矛盾， ∴必有a 0 同理可證：b 0, c 0十二、 作業(yè)：證明下列不等式：1． 設(shè)x 0, y 0, ，求證：a b放縮法：2． lg9?lg11 1 3． 4． 若a b c, 則 5．左邊6． 7．已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求證：an + bn (n≥3, n206。R*) ∵，又a, b, c 0, ∴ ∴8．設(shè)0 a, b, c 2，求證：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同時(shí)大于1仿例四9．若x, y 0，且x + y 2，則和中至少有一個(gè)小于2反設(shè)≥2，≥2 ∵x, y 0，可得x + y ≤2 與x + y 2矛盾第十一教時(shí)教材：不等式證明六（構(gòu)造法及其它方法）目的：要求學(xué)生逐步熟悉利用構(gòu)造法等方法證明不等式。過(guò)程：十三、 構(gòu)造法：1．構(gòu)造函數(shù)法例一、已知x 0，求證： 證：構(gòu)造函數(shù) 則， 設(shè)2≤ab 由顯然 ∵2≤ab ∴a b 0, ab 1 0, ab 0 ∴上式 0∴f (x)在上單調(diào)遞增，∴左邊例二、求證： 證：設(shè) 則用定義法可證：f (t)在上單調(diào)遞增令：3≤t1t2 則∴ 2．構(gòu)造方程法：例三、已知實(shí)數(shù)a, b, c，滿足a + b + c = 0和abc = 2，求證：a, b, c中至少有一個(gè)不小于2。 證：由題設(shè)：顯然a, b, c中必有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)a 0，則 即b, c是二次方程的兩個(gè)實(shí)根?！? 即：a≥2例四、求證： 證：設(shè) 則：(y 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y 1) = 0當(dāng) y = 1時(shí)，命題顯然成立當(dāng) y 185。 1時(shí)，△= (y + 1)2 4(y 1)2 = (3y 1)(y 3)≥0∴綜上所述，原式成立。（此法也稱判別式法） 3．構(gòu)造圖形法：例五、已知0 a 1，0 b 1，求證： A B C D O 1b b a 1a 證：構(gòu)造單位正方形，O是正方形內(nèi)一點(diǎn) O到AD, AB的距離為a, b，
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