【正文】 式證明四（換元法）目的：增強學生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問題。[0, p]則∵ ∴例二、已知x 0 , y 0，2x + y = 1，求證：證一： 即：證二：由x 0 , y 0，2x + y = 1，可設 則例三：若，求證： 證：設， 則例四：若x 1，y 1，求證： 證：設 則例五：已知：a 1, b 0 , a b = 1，求證： 證：∵a 1, b 0 , a b = 1 ∴不妨設 則 ∵, ∴0 sinq 1 ∴小結(jié)：若0≤x≤1，則可令x = sinq ()或x = sin2q ()。若，則可令x = secq, y = tanq ()。若x206。六、 代數(shù)換元：例六：證明：若a 0，則 證：設則 （ 當a = 1時取“=” ）∴即 ∴原式成立七、 小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設差換元”的方法，有興趣的課后還可進一步學習。過程：九、 簡要回顧已經(jīng)學習過的幾種不等式證明的方法提出課題：放縮法與反證法十、 放縮法：例一、若a, b, c, d206。R+ ∴ ∴1 m 2 即原式成立例二、當 n 2 時，求證： 證：∵n 2 ∴ ∴ ∴n 2時, 例三、求證： 證： ∴十一、 反證法：例四、設0 a, b, c 1，求證：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同時大于 證：設(1 a)b , (1 b)c , (1 c)a ,則三式相乘：ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a ①又∵0 a, b, c 1 ∴同理：, 以上三式相乘： (1 a)a?(1 b)b?(1 c)c≤ 與①矛盾∴原式成立例五、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求證：a, b, c 0 證：設a 0, ∵abc 0, ∴bc 0 又由a + b + c 0, 則b + c = a 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 與題設矛盾 又：若a = 0，則與abc 0矛盾， ∴必有a 0 同理可證：b 0, c 0十二、 作業(yè)：證明下列不等式：1． 設x 0, y 0, ，求證：a b放縮法：2． lg9?lg11 1 3． 4． 若a b c, 則 5．左邊6． 7．已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求證：an + bn (n≥3, n206。過程：十三、 構(gòu)造法：1．構(gòu)造函數(shù)法例一、已知x 0，求證： 證：構(gòu)造函數(shù) 則， 設2≤ab 由顯然 ∵2≤ab ∴a b 0, ab 1 0, ab 0 ∴上式 0∴f (x)在上單調(diào)遞增，∴左邊例二、求證： 證：設 則用定義法可證：f (t)在上單調(diào)遞增令：3≤t1t2 則∴ 2．構(gòu)造方程法：例三、已知實數(shù)a, b, c，滿足a + b + c = 0和abc = 2，求證：a, b, c中至少有一個不小于2?！? 即：a≥2例四、求證： 證：設 則：(y 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y 1) = 0當 y = 1時，命題顯然成立當 y 185。（此法也稱判別式法） 3．構(gòu)造圖形法：例五、已知0 a 1，0 b 1，求證： A B C D O 1b b a 1a 證：構(gòu)造單位正方形，O是正方形內(nèi)一點 O到AD, AB的距離為a, b， 則|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD| 其中， 又： ∴十四、 作業(yè)：證明下列不等式：5．令，則 (y 1)x2 + (y + 1)x + (y 1) = 0用△法，分情況討論6． 已知關于x的不等式(a2 1)x2 (a 1)x 1 0 (a206。分a2 1 = 0和 討論7． 若x 0, y 0, x + y = 1，則左邊 令 t = xy，則在上單調(diào)遞減 ∴8． 若，且a2 a b，則令，又，在上單調(diào)遞增∴ A B C D F9． 記，a b 0，則| f (a) f (b) | | a b|構(gòu)造矩形ABCD, F在CD上，使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 則|AC| |AF| |CF|10． 若x, y, z 0，則作208。BOC = 208。, 設|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z第十二教時教材：不等式證明綜合練習目的：系統(tǒng)小結(jié)不等式證明的幾種常用方法，滲透“化歸”“類比”“換元”等數(shù)學思想。解一： ∵0 1 x2 1, ∴ ∴解二： ∵0 1 x2 1, 1 + x 1, ∴ ∴ ∴解三：∵0 x 1, ∴0 1 x 1, 1 1 + x 2, ∴ ∴左 右 = ∵0 1 x2 1, 且0 a 1 ∴ ∴ 變題：若將a的取值范圍改為a 0且a 185。例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd證一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù) ∴要證：xy≥ac + bd 只需證：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，顯然成立 ∴xy≥ac + bd證二：（綜合法）xy = ≥證三：（三角代換法） ∵x2 = a2 + b2，∴不妨設a = xsina, b = xcosay2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a b)≤xy例三、已知x1, x2均為正數(shù)，求證：證一：（分析法）由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證： 即： 再平方： 化簡整理得： （顯然成立） ∴原式成立證二：（反證法）假設 A B C D P M 化簡可得： （不可能