高中數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題-在線瀏覽
2025-05-22 05:05本頁面
【正文】 解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m、n的值；（Ⅱ）根據(jù)a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)2x﹣3≥0，即x≥時，不等式|2x﹣3|＜x可化為2x﹣3＜x，解得x＜3，∴≤x＜3；當(dāng)2x﹣3＜0，即x＜時，不等式|2x﹣3|＜x可化為3﹣2x＜x，解得x＞1，∴1＜x＜；綜上，不等式的解集為{x|1＜x＜3}；∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集為{x|1＜x＜3}，∴方程x2﹣mx+n=0的兩實數(shù)根為1和3，∴，∴m﹣n=4﹣3=1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）=3（ab+bc+ca）=3；∴a+b+c的最小值是．【點評】本題考查了解不等式以及根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題． 18．（2017春?巢湖市校級期中）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集為A，不等式x2+x﹣6＜0的解集為B．（1）求A∩B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集為A∩B，求不等式ax2+x+b＜0的解集．【分析】（1）由一元二次不等式的解法分別求出集合A，B，再利用集合的交集即可求出；（2）由一元二次方程的實數(shù)根與不等式的解集的關(guān)系及判別式與解集的關(guān)系即可求出．【解答】解：（1）由不等式x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3）；由不等式x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，∴B=（﹣3，2）．∴A∩B=（﹣1，2）．（2）由不等式x2+ax+b＜0的解集為A∩B=（﹣1，2），∴解得∴不等式﹣x2+x﹣2＜0可化為x2﹣x+2＞0，∵△=1﹣42=﹣7＜0，∴x2﹣x+2＞0的解集為R．【點評】熟練掌握一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵． 19．（2017春?齊河縣校級期中）解不等式：≥2．【分析】把不等式的右邊移項到左邊，通分后把分子分母都分解因式，得到的式子小于等于0，然后根據(jù)題意畫出圖形，在數(shù)軸上即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式移項得：﹣2≥0，變形得：≤0，即2（x﹣）（x﹣6）（x﹣3）（x﹣5）≤0，且x≠3，x≠5，根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：根據(jù)圖形得：≤x＜3或5＜x≤6，則原不等式的解集為[，3）∪（5，6]．【點評】此題考查了一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化的思想及數(shù)形結(jié)合的思想．此類題先把分子分母分解因式，然后借助數(shù)軸達到求解集的目的． 20．（2017春?淶水縣校級期中）已知不等式ax2+x+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集為A，不等式3ax+cm＜0的解集為B，且A?B，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）由一元二次不等式和對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a、c的值；（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c＞0，再根據(jù)真子集的定義求出m的取值范圍．【解答】解：（1）∵不等式ax2+x+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，∴3是方程ax2+x+c=0的兩根，且a＜0，…（1分）所以；…（3分）解得a=﹣，c=﹣；…（5分）（2）由（1）得a=﹣，c=﹣，所以不等式ax2+2x+4c＞0化為﹣x2+2x﹣3＞0，解得2＜x＜6，∴A={x|2＜x＜6}，又3ax+cm＜0，即為x+m＞0，解得x＞﹣m，∴B={x|x＞﹣m}，…（8分）∵A?B，∴{x|2＜x＜6}?{x|x＞﹣m}，∴﹣m≤2，即m≥﹣2，∴m的取值范圍是[2，+∞）．…（10分）【點評】本題考查了一元二次不等式和對應(yīng)方程的應(yīng)用問題，也考查了真子集的定義與應(yīng)用問題，是中檔題目． 21．（2017春?雨城區(qū)校級期中）（1）已知實數(shù)x，y均為正數(shù)，求證：；（2）解關(guān)于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1＜0（a∈R）．【分析】（1）化簡不等式的左邊，利用基本不等式求得最小值即可；（2）原不等式可化為[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]＜0，求出不等式對應(yīng)方程的根，再寫出不等式的解集．【解答】解：（1）證明：=，…（2分）又因為x＞0，y＞0，所以，由基本不等式得，…（4分）當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即2y=3x時取等號，所以；…（5分）（2）原不等式可化為[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]＜0，…（7分）令[x﹣（a+1）]?[x﹣（a﹣1）]=0，得 x1=a+1，x2=a﹣1，又因為a+1＞a﹣1，…（9分）所以原不等式的解集為（a﹣1，a+1）．…（10分）【點評】本題考查了基本不等式與一元二次不等式的解法和應(yīng)用問題，是中檔題． 22．（2017?泉州模擬）已知a，b，c是全不相等的正實數(shù)，求證：＞3．【分析】根據(jù)a，b，c全不相等，推斷出全不相等，然后利用基本不等式求得＞2，＞2，＞2，三式相加整理求得＞3，原式得證．【解答】解：∵a，b，c全不相等，∴全不相等∴＞2，＞2，＞2三式相加得，＞6
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