【文章內(nèi)容簡介】 你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)：甲隊員的成績比較分散，它的波動比較大；乙隊員的成績比較集中，它的波動比較小。我覺得乙隊員的成績比甲隊員的穩(wěn)定.師：大多數(shù)同學(xué)通過折線圖正確的表示出甲、乙隊員的成績情況，那么看圖得到的答案未必準確，我們能不能找到一個數(shù)量能描述出這組數(shù)據(jù)與平均值的差異，并能反應(yīng)出其波動性的大小呢？……生1： .師：，我們要想辦法來解決這個問題.生2： .（1）師：除了加絕對值能夠使偏差為正，還有什么辦法呢？……生： 師：（1）式在統(tǒng)計學(xué)中稱為平均差；（2），.為了刻畫一組數(shù)據(jù)波動的大小，：設(shè)有n個數(shù)據(jù)各數(shù)據(jù)與它們平均數(shù)的差的平方分別是，……,我們用它們的平均數(shù)，即用來衡量這給數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作.師：既然方差能夠衡量數(shù)據(jù)波動大小，那么我們觀察公式來考慮下面幾個問題：（1）數(shù)據(jù)比較分散時，方差值怎樣？（2）數(shù)據(jù)比較集中時，方差值怎樣？（3）方差大小與數(shù)據(jù)波動性大小有怎樣的關(guān)系？小組討論、交流，交并做出相應(yīng)的回答“生3：數(shù)據(jù)分散時，方差大；數(shù)據(jù)集中時，方差??；方差小時，數(shù)據(jù)波動性小…….師：那么我們就得到了結(jié)論“方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小.”在經(jīng)歷了表示數(shù)據(jù)離散程度的幾個量度的探索、學(xué)習(xí)之后，教師又向同學(xué)們提出了新的要求。數(shù)據(jù)的波動：方差 片斷錄像中，同學(xué)生列舉了生活中豐富多彩的實例，有些用方差能夠較好的體現(xiàn)數(shù)據(jù)波動的大小，為結(jié)果的判定提供一定的依據(jù)，但是有些卻不適用。教師應(yīng)強調(diào)“只有在兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較相近時，才用這些量度來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，否則要利用變異系數(shù)來比較。當然后者不必向?qū)W生講解，更不可進行相關(guān)的考查”[6]。[案例分析]“知識與技能”目標教學(xué)已經(jīng)從“只要結(jié)果，不要過程”的認識階段上升到“注重在知識的形成過程(應(yīng)用過程)中學(xué)習(xí)知識”的階段?！斑^程”主要是服務(wù)于知識的學(xué)習(xí)，對“過程”的把握有利于對應(yīng)知識的理解和掌握。本案例中的教師對“方差”教學(xué)目標的達成把握得恰到好處，他讓學(xué)生了解刻畫數(shù)據(jù)離散程度的三個量度——極差、標準差和方差，借助計算器求出相應(yīng)的數(shù)值，并在具體問題情境中加以應(yīng)用。由此可見[7]，“知識與技能”目標教學(xué)對第三學(xué)段學(xué)生已與第一、第二學(xué)段學(xué)生的要求不同。“數(shù)與代數(shù)”知識學(xué)習(xí)的重點是為了解相關(guān)概念的由來，理解相應(yīng)運算的算理并能夠熟練地進行運算，同時能夠從事探索數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的活動，并能夠掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)模型(代數(shù)式、方程、函數(shù)等)；“空間與圖形”知識學(xué)習(xí)的重點則是學(xué)習(xí)用不同的方法(操作、變換、作圖、論證等)研究與表達幾何體(圖形)的有關(guān)性質(zhì)和基本關(guān)系，掌握用平面直角坐標系表述物體位置關(guān)系的方法；“統(tǒng)計與概率”知識學(xué)習(xí)的重點是完整地經(jīng)歷數(shù)據(jù)的處理過程——收集、整理和分析數(shù)據(jù)，并根據(jù)分析結(jié)果作出推斷，學(xué)會計算一些事件發(fā)生的概率的方法。 第三節(jié)過程性目標的內(nèi)容及其設(shè)計一．過程性目標的內(nèi)容“過程性目標”在第一節(jié)做了詳細的解釋，它是“數(shù)學(xué)思考”、“解決問題”結(jié)合，它注重的是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，即發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力，數(shù)學(xué)推理能力、表達能力的培養(yǎng)。學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高必須建立在對數(shù)學(xué)認識的基礎(chǔ)上，這不僅僅包括一些概念和技能，還包括調(diào)查和推理的方法，交流的手段以及對數(shù)學(xué)知識來龍去脈的理解。也就是說，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要經(jīng)歷探索、推測或猜想，以及運用有效的推理去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的過程。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生解決問題的策略性知識是與例題結(jié)合在一起的，對于具體的策略是如何幫助學(xué)生思考問題的卻是很少教授，只有少數(shù)學(xué)生能通過反思來獲得有關(guān)這方面的知識。二．過程性目標的設(shè)計我們的教學(xué)往往讓學(xué)生去記憶現(xiàn)成的知識，有意無意地壓縮了學(xué)生對學(xué)習(xí)知識、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，造成學(xué)生“知其然，不知其所以然”。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個被動的接受過程，而是一個主動的建構(gòu)過程，即通過內(nèi)部認識結(jié)構(gòu)與周圍環(huán)境之間的相互作用來建構(gòu)真知。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多課例可為學(xué)生提供思考、探索知識的機會，以下給出幾個優(yōu)秀的案例供大家參考。1．發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的教學(xué)案例〓 案例14：探索規(guī)律 〓發(fā)現(xiàn)問題：與同伴交流，探索日歷中所框的9個數(shù)中，中間數(shù)與余下的其他若干數(shù)的和的倍數(shù)關(guān)系是什么？案例引入的目的是讓學(xué)生體驗“分類”處理問題的過程，在學(xué)習(xí)代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，嘗試用合并同類項、去括號等法則驗證所得到的規(guī)律。提出問題和解決問題：讓學(xué)生思考，日歷圖的套色方框中的9個數(shù)與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？這些關(guān)系在任何一年任何一個月都成立嗎？你有什么依據(jù)？這些問題對部分同學(xué)來說，存在一定的難度，但是，教師應(yīng)該鼓勵有興趣的學(xué)生在課后繼續(xù)解決。根據(jù)學(xué)生回答問題、掌握知識的具體情況提出以下問題：日歷圖的套色方框中的9個數(shù)與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？這些關(guān)系在任何一年任何一個月都成立嗎？你有什么依據(jù)？這些問題對部分同學(xué)來說，存在一定的難度，但是，教師應(yīng)該鼓勵有興趣的學(xué)生在課后繼續(xù)解決。[案例分析]本節(jié)的活動充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，利用日歷創(chuàng)設(shè)的實際情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使課堂充滿生機。通過對數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部簡單關(guān)系的探索，讓學(xué)生在進行實際操作、收集、分析數(shù)據(jù)、表示規(guī)律，并用規(guī)律進行計算和推測的過程中，初步學(xué)會用字母與代數(shù)式表示事物之間的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律；通過解決問題，發(fā)展符號感，增長學(xué)生對知識價值的認識，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識、合作精神和實踐能力。2．數(shù)學(xué)推理能力的教學(xué)案例〓 案例15：探索規(guī)律 〓將一張長方形的紙對折可得到一條折痕繼續(xù)對折，可以得到幾條折痕？如果對折10次呢？對折n次呢？長期以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強調(diào)教學(xué)的嚴謹性，過分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理，使人們誤認為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué)。波利亞等數(shù)學(xué)教育家認為，演繹推理是確定的、可靠的；合情推理則帶有一定的風(fēng)險性，而在數(shù)學(xué)中合情推理的應(yīng)用于與演繹推理一樣廣泛?！稑藴省芬髮W(xué)生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例。”培養(yǎng)學(xué)生的推理思維習(xí)慣是形成數(shù)學(xué)直覺，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，教師在教學(xué)中既要強調(diào)思維的嚴密性，結(jié)果的正確性，也要重視思維的直覺探索性和發(fā)現(xiàn)性，充分發(fā)揮課堂教學(xué)的作用，通過幾何、數(shù)與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、實踐與綜合應(yīng)用等教學(xué)活動來訓(xùn)練：第一，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察。推理并非盲目的、漫無邊際的胡亂猜想，它是以數(shù)學(xué)中某些已知事實為基礎(chǔ)，通過選擇恰當?shù)膹?fù)習(xí)結(jié)構(gòu)材料創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察。歐拉曾說過：“數(shù)學(xué)這門學(xué)科，需要觀察，還需要實驗?！庇^察是人們認識客觀世界的門戶，觀察可以調(diào)動學(xué)生的各種感官，在已有知識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生聯(lián)想，通過觀察還可以減少猜想的盲目性。同時，觀察力也是人的一種重要能力，所以在教學(xué)中要給學(xué)生必要的時間和空間進行觀察，培養(yǎng)良好的觀察習(xí)慣，提高觀察力。如下述例題:按下圖方式擺放餐桌和椅子：(1)1張餐桌可坐6人，2張餐桌可坐 人.(2)按上圖方式繼續(xù)排列餐桌，完成下表：桌子張數(shù)3456n可坐人數(shù)第二，精心設(shè)計實驗，激發(fā)學(xué)生的思維。高斯曾提到過，他的許多定理都是靠實驗、歸納發(fā)現(xiàn)的，證明只是補充的手段。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，正確地恰到好處地應(yīng)用數(shù)學(xué)實驗，也是當前實施素質(zhì)教育的需要。著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面是歐幾里德式的嚴謹科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但是另一方面，在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)更像是一門實驗性的歸納科學(xué)，”從這一點上講，數(shù)學(xué)實驗對激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維有著不可低估的作用。數(shù)學(xué)理論的抽象性，通常都有某種“直觀”的想法為背景。作為教師，就應(yīng)該通過實驗，把這種直觀的背景顯現(xiàn)出來，幫助學(xué)生抓住其本質(zhì)，了解它的變形和發(fā)展及其它問題的聯(lián)系。數(shù)學(xué)實驗是幫助學(xué)生理解和鞏固數(shù)學(xué)知識的一種有效方法。學(xué)生在