動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題(編輯修改稿)
2025-04-20 12:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 大小為劣弧AB的一半，即,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，∠C所對(duì)的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由∠AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為36001200=2400，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠C=1200，因此或∠C=1200.變式2: 如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，若AB=1，判斷∠AOB的大小是否會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則∠AOB=600，即∠AOB的大小不會(huì)隨點(diǎn)A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個(gè)三角形組成，其中三角形AOB的面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EH≤OE=，當(dāng)AB∥CD時(shí)，EH=OE，因此四邊形ABCD的面積最大值為+=.對(duì)于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3: 如圖,有一塊半圓形的木板,別為A、B，另一個(gè)頂點(diǎn)C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題） 分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，連結(jié)CO，由于CD≤CO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng)CO與AB垂直時(shí)，即C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個(gè)位置C1（不與C重合），證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形 ABC1的面積=ABC1D，而C1D C1O=CO,則三角形 ABC1的面積=ABC1DABC1O=三角形 ABC的面積,因此,對(duì)于除點(diǎn)C外的任意點(diǎn)C1,都有三角形 ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積,故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時(shí),三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長何時(shí)最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACBC=AB2+4ΔABC的面積，因此ΔABC的面積最大時(shí)，AC+BC最大，從而ΔABC的周長最大。從以上一道題及其三個(gè)變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動(dòng)態(tài)幾何問題的常見方法有:特殊探路，一般推證例2： 如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于A，⊙O1的半徑為3，⊙O2的半徑為2，點(diǎn)P為⊙O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線PA交⊙O2于點(diǎn)C，PB切⊙O2于點(diǎn)B，則的值為（A） （B） （C） （D）分析：本題是一道選擇題，給出四個(gè)答案有且只有一個(gè)是正確的，因此可以取一個(gè)特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿足PB⊥AB時(shí)，可以通過計(jì)算得出PB=BCAP=BPAB，因此 BC=， 在三角形BPC中，PC=，所以，=選（B）當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得，即可計(jì)算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個(gè)特殊情況，還要進(jìn)一步證明對(duì)一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷OEF
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