【文章內(nèi)容簡介】 DP 。 用心 愛心 專心 12 ∴DP ： CP=BD： AC=1： 3。 ∴DP=PF= 12CF=12 BF。 在 Rt△PBF 中， BFtan BPF 2PF? ? ?。 ∵∠APD=∠BPF ， ∴tan∠APD=2 。 7. （ 2022福建福州 4分） 如圖，已知 △ABC ， AB＝ AC＝ 1， ∠A ＝ 36176。 ， ∠ABC 的平分線 BD交 AC于 點 D，則 AD 的長是 ▲ ， cosA的值是 ▲ ． (結(jié)果保留根號 ) 【答案】 5－ 12 ； 5＋ 14 。 【考點】 黃金分割，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義。 【分析】 可以證明 △ABC∽△BDC ，設(shè) AD＝ x，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可列出方程，求得 x的值；過點 D作 DE⊥AB 于點 E，則 E為 AB 中點，由余弦定義可求出 cosA的值： ∵ 在 △ABC 中， AB＝ AC＝ 1， ∠A ＝ 36176。 ， ∴ ∠ABC ＝ ∠ACB ＝ 180176。 － ∠A2 ＝ 72176。 。 ∵ BD 是 ∠ABC 的平分線， ∴ ∠ABD ＝ ∠DBC ＝ 12∠ABC ＝ 36176。 。 ∴ ∠A ＝ ∠DBC ＝ 36176。 。 又 ∵∠C ＝ ∠C ， ∴ △ABC∽△BDC 。 ∴ ACBC＝ BCCD。 設(shè) AD＝ x，則 BD＝ BC＝ x．則 1x＝ x1－ x，解得： x＝ 5＋ 12 (舍去 )或 5－ 12 。 ∴x ＝ 5－ 12 。 如圖，過點 D作 DE⊥AB 于點 E， ∵ AD ＝ BD， ∴E 為 AB中點，即 AE＝ 12AB＝ 12。 在 Rt△AED 中， cosA＝ AEAD＝125－ 12＝ 5＋ 14 。 8. （ 2022湖北宜昌 3分） 已知 ⊙O 的半徑為 5，圓心 O到直線 l的距離為 3，則反映直線 l與 ⊙O 的位置關(guān)系的圖形是【 】 用心 愛心 專心 13 A． B． C． D． 【答案】 B。 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系。 1419956 【分析】 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來判定： ① 直線 l和 ⊙O 相交 ?d＜ r； ② 直線 l和 ⊙O 相切 ?d=r； ③ 直 線 l和 ⊙O 相離 ?d＞ r（ d為直線與圓的距離， r為圓的半徑）。因此， ∵⊙O 的半徑為 5，圓心 O到直線 l的距離為 3， ∵5 ＞ 3，即： d＜ r， ∴ 直線 L與 ⊙O 的位置關(guān)系是相交。故選 B。 【 宜昌無填空題，以倒數(shù)第二條選題代替 】 9. （ 2022湖北襄陽 3分） 在等腰 △ABC 中， ∠A=30176。 ， AB=8，則 AB邊上的高 CD的長是 ▲ ． 【答案 】 4或 3 或 433 。 【考點】 等腰三角形的性質(zhì)，含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】 根據(jù)題意畫出 AB=AC， AB=BC 和 AC=BC 時的圖象，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，分別進行計算即可： （ 1）如圖，當 AB=AC 時， ∵∠A=30176。 ， ∴CD= 12 AC=12 8= 4。 （ 2）如圖，當 AB=BC時，則 ∠A=∠ACB=30176。 。 ∴∠ACD=60176。 。 ∴∠BCD=30176。 ∴CD=cos∠BCD?BC=cos30176。8=4 3 。 （ 3）如圖，當 AC=BC時，則 AD=4。 ∴CD=tan∠A?AD=tan30176。?4= 433 。 綜上所述， AB邊上的高 CD 的長是 4或 3 或 433 。 10. （ 2022湖南長沙 3分） 如圖，等腰梯形 ABCD中， AD∥BC ， AB=AD=2， ∠B=60176。 ，則 BC 的長為 ▲ ． 用心 愛心 專心 14 【答案】 4。 【考點】 等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】 過點 A作 AE∥CD 交 BC于點 E， ∵AD∥BC ， ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形。 ∴AE=CD=2 ， AD=EC=2。 ∵∠B=60176。 ， ∴△ABE 是等邊三角形。 ∴BE=AB=AE=2 。 ∴BC=BE+CE=2+2=4 。 11. （ 2022 四川 涼山 5 分） 如圖，在四邊形 ABCD 中， AC=BD=6， E、 F、 G、 H 分別是 AB、 BC、 CD、 DA 的中點，則 EG2+FH2= ▲ 。 【答案】 36。 【考點】 三角形中位線定理，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】 如圖，連接 EF， FG， GH， EH， EG 與 FH 相交于點 O。 ∵E 、 H分別是 AB、 DA 的中點， ∴EH 是 △ABD 的中位線。 ∴EH= 12 BD=3。 同理可得 EF=GH=12 AC=3， FG=12 BD=3。 ∴EH=EF=GH=FG=3 。 ∴ 四邊形 EFGH為菱形。 ∴EG⊥HF ，且垂足為 O。 ∴EG=2OE ， FH=2OH。 在 Rt△OEH 中，根據(jù)勾股定理得： OE2+OH2=EH2=9。 等式兩邊同時乘以 4得： 4OE2+4OH2=94=36 。 ∴ （ 2OE） 2+（ 2OH） 2=36，即 EG2+FH2=36。 12. （ 2022貴州 銅仁 4 分） 以邊長為 2的正方形的中心 O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于 A、 B兩點，則線段 AB的最小值是 ▲ ． 用心 愛心 專心 15 【答案】 2 。 【考點】 正方形的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理。 【分析】 如圖， ∵ 四邊形 CDEF是正方形， ∴∠OCD=∠ODB=45176。 ， ∠COD=90176。 ， OC=OD。 ∵AO⊥OB ， ∴∠AOB=90176。 。 ∴∠CAO+∠AOD=90176。 ， ∠AOD+∠D OB=90176。 ， ∴∠COA=∠DOB 。 ∵ 在 △COA 和 △DOB 中， ∠OCA=∠ODB ， OC=OD， ∠COA=∠DOB ， ∴△COA≌△DOB （ ASA）。 ∴OA=OB 。 ∵∠AOB=90176。 ， ∴△AOB 是等腰直角三角形。 由勾股定理得： 22A B O A O B 2 O A? ? ?。 ∴ 要使 AB最小，只要 OA取最小值即可。 根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，當 OA⊥CD 時， OA 最小。 ∵ 四邊形 CDEF是正方形， ∴FC⊥CD ， OD=OF。 ∴CA=DA ， ∴OA= 12CF=1。 ∴AB= 2 。 13. （ 2022山東 濱州 4分） 如圖，銳角三角形 ABC的邊 AB， AC 上的高線 CE和 BF相交于點 D，請寫出圖中的兩對相似三角形： ▲ （用相似符號連接）． 【答案】 △BDE∽△CDF ， △ABF∽△ACE 。 【考點】 相似三角形的判定。 【分析】 （ 1）在 △BDE 和 △CDF 中， ∵∠BDE=∠CDF ， ∠BED=∠CFD=90176。 ， ∴△BDE∽△CDF ； （ 2）在 △ABF 和 △ACE 中， ∵∠A=∠A ， ∠AFB=∠AEC=90176。 ， ∴△ABF∽△ ACE。 14. （ 2022山東濟寧 3分） 如圖，在等邊三角形 ABC中， D是 BC邊上的一點，延長 AD至 E，使 AE=AC，∠BAE 的平分線交 △ABC 的高 BF于點 O，則 tan∠AEO= ▲ ． 用心 愛心 專心 16 【答案】 33。 【考點】 等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】 ∵△ABC 是等邊三角形， ∴∠ABC=60176。 ， AB=BC。 ∵BF⊥AC ， ∴∠ABF= 12∠ABC=30 176。 。 ∵AB=AC ， AE=AC， ∴AB=AE 。 ∵AO 平分 ∠BAE ， ∴∠BAO=∠EAO 。 ∵ 在 △BAO 和 △EAO 中， AB=AE， ∠BAO=∠EAO ， AO=AO， ∴△BAO≌△EAO （ SAS）。 ∴∠AEO=∠ABO=30176。 。 ∴tan∠AEO=tan30176。= 33 。 15. （ 2022山東日照 4分） 如圖，過 A、 C 、 D三點的圓的圓心為 E，過 B、 F、 E三點的圓的圓心為 D，如果 ∠A=63176。 ，那么 ∠θ= ▲ ． [來︿源 【答案】 180。 【考點】 等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角定理。 【分析】 如圖，連接 CE， DE， ∵ 過 A、 C 、 D三點的圓的圓心為 E，過 B、 F、 E 三點的圓的圓心為 D， ∴AE=CE=DE=DB 。 ∴∠A=∠ACE ， ∠ECD=∠CDE ， ∠DEB=∠DBE=∠θ 。 ∵∠A=63176。 ， ∴∠AEC=180 0－ 263 0=540。 又 ∵∠ECD=∠CDE=2∠θ ， ∴∠AEC=∠ECD ＋ ∠DBE=3∠θ ，即 3∠θ=54 0。 ∴∠θ=18 0。 16. （ 2022山東棗莊 4分） 如圖所示， DE為 △ABC 的中位線，點 F在 DE 上，且 ∠AFB ＝ 90176。 ，若 AB＝ 5，BC＝ 8，則 EF的長為 ▲