【文章內容簡介】 2|時，即Q取橢圓上下頂點時，cos∠F1QF2取得最小值）…（14分）點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查基本不等式的運用，綜合性強．　17．已知橢圓x2+=1的左、右兩個頂點分別為A，B．雙曲線C的方程為x2﹣=1．設點P在第一象限且在雙曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T．（Ⅰ）設P，T兩點的橫坐標分別為x1，x2，證明x1?x2=1；（Ⅱ）設△TAB與△POB（其中O為坐標原點）的面積分別為S1與S2，且?≤15，求S﹣S的取值范圍．考點：直線與圓錐曲線的關系；平面向量數量積的運算．菁優(yōu)網版權所有專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：（Ⅰ）設直線AP的方程與橢圓方程聯立，確定P、T的橫坐標，即可證得結論；（Ⅱ）利用?≤15，結合點P是雙曲線在第一象限內的一點，可得1＜x1≤2，利用三角形的面積公式求面積，從而可得S﹣S的不等式，利用換元法，再利用導數法，即可求S﹣S的取值范圍．解答：（Ⅰ）證明：設點P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），則直線AP的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或x=，故x2=．同理可得x1=．所以x1?x2=1．（Ⅱ）設點P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），則=（﹣1﹣x1，y1），=（1﹣x1，y1）．因為?≤15，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．因為點P在雙曲線上，所以，所以x12+4x12﹣4≤16，即x12≤4．因為點P是雙曲線在第一象限內的一點，所以1＜x1≤2．因為S1=|y2|，S2=，所以S﹣S==由（Ⅰ）知，x1?x2=1，即．設t=，則1＜t≤4，S﹣S=5﹣t﹣．設f（t）=5﹣t﹣，則f′（t）=﹣1+=，當1＜t＜2時，f39。（t）＞0，當2＜t≤4時，f39。（t）＜0，所以函數f（t）在（1，2）上單調遞增，在（2，4]上單調遞減．因為f（2）=1，f（1）=f（4）=0，所以當t=4，即x1=2時，S﹣S的最小值為f（4）=0，當t=2，即x1=時，S﹣S的最大值為f（2）=1．所以S﹣S的取值范圍為[0，1]．點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、函數最值等知識，考查數形結合、化歸與轉化、函數與方程的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．　18．設橢圓D：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為FF2，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若過A、B、F2三點的圓C恰好與直線l：x﹣y﹣3=0相切，求圓C方程及橢圓D的方程；（Ⅱ）若過點T（3，0）的直線與橢圓D相交于兩點M、N，設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），求實數t取值范圍．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的應用．菁優(yōu)網版權所有專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：（Ⅰ）利用，可得F1為BF2的中點，根據AB⊥AF2，可得a，c的關系，利用過A、B、F2三點的圓C恰好與直線l：相切，求出a，即可求出橢圓的方程與圓的方程；（Ⅱ）設直線MN方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，即可求實數t取值范圍．解答：解：（Ⅰ）由題意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）．因為AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，又因為，所以F1為BF2的中點，所以又a2=b2+c2，所以a=2c．所以F2（，0），B（﹣，0），Rt△ABF2的外接圓圓心為F1（﹣，0），半徑r=a，因為過A、B、F2三點的圓C恰好與直線l：相切，所以=a，解得a=2，所以c=1，b=．所以橢圓的標準方程為：，圓的方程為（x+1）2+y2=1；（Ⅱ）設直線MN方程為y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），則直線方程代入橢圓方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣24k2x+36k2﹣12=0，∴△=（24k2）﹣4（4k2+3）（36k2﹣12）＞0，∴k2＜，x1+x2=，x1x2=，∵，∴x1+x2=tx，y1+y2=ty，∴tx=，ty=，∴x=，y=，代入橢圓方程可得3[]2+4[]2=12，整理得=∵k2＜，∴0＜t2＜4，∴實數t取值范圍是（﹣2，0）∪（0，2）．點評：本題考查橢圓方程與圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查直線與橢圓的位置關系，難度大　19．已知FF2為橢圓C：的左，右焦點，M為橢圓上的動點，且?的最大值為1，最小值為﹣2．（1）求橢圓C的方程；（2）過點作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點，A為橢圓的左頂點．試判斷∠MAN是否為直角，并說明理由．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．菁優(yōu)網版權所有專題：計算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：（1）設M（x39。，y39。），化簡?=x39。2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），從而求最值，進而求橢圓方程；（2）設直線MN的方程為x=ky﹣6并與橢圓聯立，利用韋達定理求?的值，從而說明是直角．解答：解：（1）設M（x39。，y39。），則y39。2=b2﹣x39。2，?=x39。2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），則當x39。=0時，?取得最小值2b2﹣a2=﹣2，當x39。=177。a時，?取得最大值b2=1，∴a2=4，故橢圓的方程為．（2）設直線MN的方程為x=ky﹣，聯立方程組可得，化簡得：（k2+4）y2﹣﹣=0，設M（x1，y1），N（x2，y2），則y1+y2=，y1y2=﹣，又A（﹣2，0），?=（x1+2，y1）?（x2+2，y2）=（k2+1）y1y2+k（y1+y2）+==﹣（k2+1）+k+=0，所以∠MAN為直角．點評：本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關系應用，同時考查了向量的應用，屬于難題．　20．如圖，P是拋物線y2=2x上的動點，點B，C在y軸上，圓（x﹣1）2+y2=1內切于△PBC，求△PBC面積的最小值．考點：圓與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網版權所有專題：綜合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：設P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），設b＞c．直線PB：y﹣b=，化簡，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，由圓心（1，0）到直線PB的距離是1，知，由此導出（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，所以（b﹣c）2=，從而得到S△PBC=，由此能求出△PBC面積的最小值．解答：解：設P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），設b＞c．直線PB的方程：y﹣b=，化簡，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，∵圓心（1，0）到直線PB的距離是1，∴，∴（y0﹣b）2+x02=（y0﹣b）2+2x0b（y0﹣b）+x02b2，∵x0＞2，上式化簡后，得（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，∴b+c=，bc=，∴（b﹣c）2=，∵P（x0，y0）是拋物線上的一點，∴，∴（b﹣c）2=，b﹣c=，∴S△PBC===（x0﹣2）++4≥2+4=8．當且僅當時，取等號．此時x0=4，y0=．∴△PBC面積的最小值為8．點評：本昰考查三角形面積的最小值的求法，具體涉及到拋物線的性質、拋物線和直線的位置關系、圓的簡單性質、均值定理等基本知識，綜合性強，難度大，對數學思想的要求較高，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．　21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．動圓（圓心為M）被L1L2截得的弦長分別為8，16．（Ⅰ）求圓心M的軌跡方程M；（Ⅱ）設直線y=kx+10與方程M的曲線相交于A，B兩點．如果拋物y2=﹣2x上存在點N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范圍．考點：圓與圓錐曲線的綜合；直線與圓相交的性質．菁優(yōu)網版權所有專題：綜合題；壓軸題．分析：（Ⅰ）設M（x，y），M到L1，L2的距離分別為d1，d2，則d12+42=d22+82．所以，由此能求出圓心M的軌跡方程．（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．AB的中點為，AB的中垂線為，由，得．由此能求出k的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），M到L1，L2的距離分別為d1，d2，則d12+42=d22+82．…（2分）∴，∴x2﹣y2=80，即圓心M的軌跡方程M：x2﹣y2=80． …（4分）（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0． ①∴AB的中點為，…（6分）∴AB的中垂線為，即，…（7分）由，得 ②…（8分）∵存在N使得|NA|=|NB|成立的條件是：①有相異二解，并且②有解． …（9分）∵①有相異二解的條件為，∴?且k≠177。1．③…（10分）②有解的條件是，∴，④…（11分）根據導數知識易得時，k3﹣k+40＞0，因此，由③④可得N點存在的條件是：﹣1或1＜k＜． …（12分）點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．　22．已知直線l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常數，a≠0．（1）求直線l1和l2交點的軌跡，說明軌跡是什么曲線，若是二次曲線，試求出焦點坐標和離心率．（2）當a＞0，y≥1時，軌跡上的點P（x，y）到點A（0，b）距離的最小值是否存在？若存在，求出這個最小值．考點：圓錐曲線的軌跡問題．菁優(yōu)網版權所有專題：綜合題；壓軸題；分類討論；轉化思想．分析：（1）聯立直線l1和l2的方程，消去參數即可得到交點的軌跡方程，根據a的取值a＞0，﹣1＜a＜0，a=﹣1，a＜﹣1說明軌跡曲線，利用二次曲線判斷形狀，直接求出焦點坐