高中數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題練習(xí)江蘇資料及詳解(編輯修改稿)
2025-05-01 05:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即從第二項(xiàng)起,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,數(shù)列的前n項(xiàng)和,顯然當(dāng)時(shí),上式也成立,(2),,即單調(diào)遞增.(i)當(dāng)時(shí),有,于是,,若數(shù)列中存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列,則有,即,.,依次成等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),于是當(dāng)時(shí),.從而若數(shù)列中存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列,則有,同(i)可以知道:.于是有,是整數(shù),.于是,.故此時(shí)數(shù)列中不存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),有于是此時(shí)數(shù)列中存在三項(xiàng),依次成等差數(shù)列.綜上可得:解析(1)①,可得,同理可得,②,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即從第二項(xiàng)起,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的求和公式即可得出(2),可得,即單調(diào)遞增.(i)當(dāng)時(shí),有,于是,可得,.利用反證法即可得出不存在.當(dāng)時(shí),.,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在.當(dāng)時(shí),.和的前n項(xiàng)和分別為,,,,對任意的,都有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(2)若為等差數(shù)列,對任意的,都有.證明:(3)若為等比數(shù)列,,,求滿足的n值.解:(1)由,得,即,所以由,可以知道所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.故的通項(xiàng)公式為,(2)證法一:設(shè)數(shù)列的公差為d,則,由(1)知,因?yàn)?所以,即恒成立,所以,即,又由,得,所以所以,得證.證法二:設(shè)的公差為d,假設(shè)存在自然數(shù),使得,則,即,因?yàn)?所以所以,因?yàn)?所以存在,當(dāng)時(shí),恒成立.這與“對任意的,都有”矛盾!所以,得證.(3)由(1)知,.因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,且,所以是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.所以,則,因?yàn)?所以,所以而,所以,即當(dāng),2時(shí),式成立。當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以,故滿足條件的n的值為1和2.解析(1)運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,即可得到所求。(2)方法一、設(shè)數(shù)列的公差為d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判斷符號即可得證。方法二、運(yùn)用反證法證
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