【正文】 B ， ∴∠A= ∠B 。 ∵O 是 AB的中點， ∴OA=OB 。 ∵DF⊥AC ， DE⊥BC ， ∴∠AMO=∠BNO=90176。 。 ∵ 在 △OMA 和 △ONB 中， ∠A=∠B ， OA=OB， ∠AMO=∠BNO ， 用心 愛心 專心 22 ∴△OMA≌△ONB （ AAS）。 ∴OM=ON 。 （ 3）解： OM=ON， OM⊥ON 。理由如下： 連接 CO，則 CO是 AB 邊上的中線。 ∵∠ACB=90176。 ， ∴OC= 12AB=OB。 又 ∵CA=CB ， ∴∠CAB=∠B=45 ， ∠1=∠2=45176。 ， ∠AOC=∠BOC=90176。 。 ∴∠2=∠B 。 ∵BN⊥ DE， ∴∠BND=90176。 。 又 ∵∠B=45176。 ， ∴∠3=45176。 。 ∴∠3=∠B 。 ∴DN=NB 。 ∵∠ACB=90176。 ， ∴∠NCM=90176。 。 又 ∵BN⊥DE ， ∴∠DNC=90176。 。 ∴ 四邊形 DMCN是矩形。 ∴DN=MC 。 ∴MC=NB 。 ∴△MOC≌△NOB （ SAS）。 ∴OM=ON ， ∠MOC=∠NOB 。 ∴∠MOC ﹣ ∠CON=∠NOB ﹣ ∠CON ，即 ∠MON=∠BOC=90176。 。 ∴OM⊥ON 。 【考點】 等腰三角形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質。 【分析】 （ 1）根據等腰三角形和角平分線的性質 直接作答。 （ 2）利用 AAS證明 △OMA≌△ONB 即可。 （ 3）利用 SAS證明 △MOC≌△NOB 即可得到 OM=ON， ∠MOC=∠NOB 。通過角的等量代換即可得∠MON=∠BOC=90176。 ，而得到 OM⊥ON 。 3. （ 2022福建廈門 10分） 已知 ABCD，對角線 AC與 BD相交于點 O，點 P在邊 AD上，過點 P分 別作 PE⊥AC 、 PF⊥BD ，垂足分別為 E、 F， PE＝ PF． （ 1）如圖，若 PE＝ 3， EO＝ 1，求 ∠EPF 的度數； （ 2）若點 P是 AD的中點，點 F是 DO 的中點， BF ＝ BC＋ 3 2－ 4，求 BC的長． 【答案】 解：（ 1）連接 PO , ∵ PE ＝ PF， PO＝ PO， PE⊥ AC、 PF⊥BD ， ∴ Rt△PEO≌Rt△PFO （ HL）。 ∴∠EPO ＝ ∠FPO 。 用心 愛心 專心 23 在 Rt△PEO 中， tan∠EPO ＝ EOPE＝ 33 ， ∴ ∠EPO ＝ 30176。 。 ∴ ∠EPF ＝ 60176。 。 （ 2） ∵ 點 P是 AD 的中點， ∴ AP ＝ DP。 又 ∵ PE ＝ PF， ∴ Rt△PEA≌Rt△PFD （ HL）。 ∴∠OAD ＝ ∠ODA 。 ∴ OA ＝ OD。 ∴ AC ＝ 2OA＝ 2OD＝ BD。 ∴ ABCD是矩形。 ∵ 點 P是 AD的中點，點 F是 DO 的中點， ∴ AO ∥ PF。 ∵ PF⊥BD ， ∴ AC⊥BD 。 ∴ ABCD是菱形。 ∴ ABCD是正方形。 ∴ BD ＝ 2BC。 ∵ BF ＝ 34BD， ∴BC ＋ 3 2－ 4＝ 3 24 BC，解得， BC＝ 4。 【考點】 平行四邊形的性質，角平分線的性質，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質，正方形的判定和性質，銳角三角函數定義。 【分析】 （ 1）連接 PO，利用解直角三角形求出 ∠EPO=30176。 ，再利用 “HL” 證明 △PEO 和 △PFO 全等， 根據全等三角形對應角相等可得 ∠FPO=∠EPO ，從而得解。 （ 2）根據條件證出 ABCD是正方形。根據正方形的對角線與邊長的關系列式計算即可得解。 4. （ 2022甘肅白銀 10分） 如圖，點 A， B， C， D在 ⊙O 上， AB=AC， AD與 BC相交于點 E， AE D12E? ，延長 DB 到點 F，使 FB D12B? ，連接 AF． （ 1）證明： △BDE∽△FDA ； （ 2）試判斷直線 AF與 ⊙O 的位置關系，并給出證明． 【答案】 解 :（ 1）證明：在 △BDE 和 △FDA 中， ∵FB ＝ 12 BD， AE＝ 12 ED， ∴ BD ED 2FD AD 3??。 又 ∵∠BDE ＝ ∠FDA ， ∴△BDE∽△FDA 。 （ 2）直線 AF與 ⊙O 相切。證明如下： 連接 OA， OB， OC， ∵AB ＝ AC， BO＝ CO， OA＝ OA， 用心 愛心 專心 24 ∴△OAB≌△OAC （ SSS）。 ∴∠OAB ＝ ∠OAC 。 ∴AO 是等腰三角形 ABC頂角 ∠BAC 的平分線。 ∴AO⊥BC 。 ∵△BDE∽FDA ，得 ∠EBD ＝ ∠AFD ， ∴BE∥FA 。 ∵AO⊥BE ， ∴AO⊥FA 。 ∴ 直線 AF 與 ⊙O 相切。 【考點】 相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行的判定和性質，切線的判定。 【分析】 （ 1）因為 ∠BDE 公共，夾此角的兩邊 BD： DF=ED： AD=2： 3，由相似三角形的判定，可知 △BDE∽△FDA 。 （ 2）連接 OA、 OB、 OC，證明 △OAB≌OAC ，得出 AO⊥BC ．再由 △BDE∽FDA ，得出 ∠EBD=∠AFD ，則BE∥FA ，從而 AO⊥FA ，得出直線 AF與 ⊙O 相切。 5. （ 2022廣東廣州 14分） 如圖，在平行四 邊形 ABCD中， AB=5， BC=10， F為 AD的中點， CE⊥AB 于 E，設 ∠ABC=α （ 60176。≤α ＜ 90176。 ）． （ 1）當 α=60176。 時，求 CE 的長； （ 2）當 60176。 ＜ α ＜ 90176。 時， ① 是否存在正整數 k，使得 ∠EFD=k∠AEF ？若存在，求出 k的值；若不存在，請說明理由． ② 連接 CF，當 CE2﹣ CF2取最大值時，求 tan∠DCF 的值． 【答案】 解：（ 1） ∵α=60176。 ， BC=10， ∴sinα= CEBC，即 sin60176。= CE 310 2? ，解得 CE=53。 （ 2） ① 存在 k=3，使得 ∠EFD=k∠AEF 。理由如下： 連接 CF 并延長交 BA的延長線于點 G， ∵F 為 AD的中點， ∴AF=FD 。 在平行 四邊形 ABCD中， AB∥CD ， ∴∠G=∠DCF 。 在 △AFG 和 △CFD 中， ∵∠G=∠DCF ， ∠G=∠DCF ， AF=FD， ∴△AFG≌△CFD （ AAS）。 ∴CF=GF ， AG=CD。 ∵CE⊥AB ， ∴EF=GF 。 ∴∠AEF=∠G 。 用心 愛心 專心 25 ∵AB=5 ， BC=10，點 F是 AD 的中點， ∴AG=5 ， AF=12AD=12BC=5。 ∴AG=AF 。 ∴∠AFG=∠G 。 在 △AFG 中， ∠EFC=∠AEF+∠ G=2∠AEF ， 又 ∵∠CFD=∠AFG ， ∴∠CFD=∠AEF 。 ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF ， 因此，存在正整數 k=3，使得 ∠EFD=3∠AEF 。 ② 設 BE=x， ∵AG=CD=AB=5 ， ∴EG=AE+AG=5 ﹣ x+5=10﹣ x， 在 Rt△BCE 中， CE2=BC2﹣ BE2=100﹣ x2。 在 Rt△CEG 中， CG2=EG2+CE2=（ 10﹣ x） 2+100﹣ x2=200﹣ 20x。 ∵CF=GF （ ① 中已證）， ∴CF 2=（ 12CG） 2=14CG2=14（ 200﹣ 20x） =50﹣ 5x。 ∴CE 2﹣ CF2=100﹣ x2﹣ 50+5x=﹣ x2+5x+50=﹣（ x﹣ 52） 2+50+254 。 ∴ 當 x=52，即點 E是 AB 的中點時， CE2﹣ CF2取最大值。 此時， EG=10﹣ x=10﹣ 5 15=22， CE= 2 2 5 5 1 51 0 0 x = 1 0 0 =42??， ∴5 15CG 152ta n D CF ta n G15E G 32? ? ? ? ? ?。 【考點】 銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，平行四邊形的性質，對頂角的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線性質，等腰三角形的性質，二次函數的最值，勾股定理。 【分析】 （ 1）利用 60176。 角的正弦值列式計算即可得解。 （ 2） ① 連接 CF 并延長交 BA 的延長線于點 G，利用 “ 角邊角 ” 證明 △AFG 和 △CFD 全等，根據全等三角形對應邊相等可得 CF=GF， AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 EF=GF，再根據 AB、 BC的長度可得 AG=AF，然后利用等邊對等角的性質可得 ∠AEF=∠G=∠AFG ，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得 ∠EFC=2∠G ，然后推出 ∠EFD=3∠AEF ，從而得解。 ② 設 BE=x，在 Rt△BCE 中，利用勾股定理表示出 CE2，表示出 EG的長度，在 Rt△CEG 中，利用勾股定理表示出 CG2，從而得到 CF2，然后相減并整理，再根據二次函數的最值問題解答。 6. （ 2022 廣東 肇慶 10 分） 如圖，在 △ABC 中， AB=AC，以 AB為直徑的 ⊙O 交 AC 于點 E，交 BC 于點 D，連結 BE、 AD 交于點 P. 求證： （ 1） D是 BC 的中點 ； 用心 愛心 專心 26