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正文內(nèi)容

中考幾何題中新定義型題集錦(編輯修改稿)

2025-07-06 22:02 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是B、D關(guān)于AC對(duì)稱,設(shè)P是上任一點(diǎn),連結(jié)DP、BP,則由對(duì)稱性知∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC,所以點(diǎn)P是四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)。例6(2007年寧波市)四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn),如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等,但到另一對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等,則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn),如圖10(1),點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn),PD=PB,PAPC,則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。(1)如圖10(2),畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn);(2)如圖10(3),作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法)(3)如圖10(4),在四邊形ABCD中,P是AC上的點(diǎn),PC,延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF,求證:點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn);(4)試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況(說出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù),不必證明)。解:(1)如圖10(2)所示,點(diǎn)P即為所求(答案不唯一,點(diǎn)P不能畫在AC的中點(diǎn)上)。(2)如圖10(3)所示,點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)(答案不唯一)。(3)證明:如圖10(4),連結(jié)DB。因?yàn)椤鱀CF△BCD(AAS),所以CD=CB,所以∠CDB=∠CBD,故∠PDB、∠PBD,所以PD=PB。因?yàn)镻A≠PC,所以點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。(4)①當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直且任何一條對(duì)角線不平分另一條對(duì)角線或者對(duì)角線互相平分且不垂直時(shí),準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè);②當(dāng)四邊形的對(duì)角線既不垂直,又不互相平分,且有一條對(duì)角線的中垂線經(jīng)過另一對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí),準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè);③當(dāng)四邊形的對(duì)角線既不垂直又不互相平分,且任何一條對(duì)角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí),準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè);④當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直且至少有一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線時(shí),準(zhǔn)等距點(diǎn)有無數(shù)個(gè)(注意點(diǎn)P不能畫在對(duì)角線的中點(diǎn)上)。五、定義一種新的三角形 例7 (2005年天津市)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別用a、b、c表示。(I)如圖11,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠B=,求證;;(II)如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍,我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”,本題第(I)問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形,那么對(duì)任意的倍角三角形ABC,其中∠A=2∠B,如圖12,關(guān)系式是否仍然成立?并證明你的結(jié)論;(III)試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊長(zhǎng),使這三條邊長(zhǎng)恰好為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)。(I)證明:因?yàn)椤螦=,∠A=2∠B,所以∠C=,所以在Rt△ABC中,,于是,所以。(II)關(guān)系式仍然成立。證明:如圖12,延長(zhǎng)BA到D,使AD=AC,連結(jié)CD,則
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