中考幾何題中新定義型題集錦(編輯修改稿)
2025-07-06 22:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 是B、D關(guān)于AC對(duì)稱，設(shè)P是上任一點(diǎn)，連結(jié)DP、BP，則由對(duì)稱性知∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，所以點(diǎn)P是四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)。例6（2007年寧波市）四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)，如圖10（1），點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PAPC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。（1）如圖10（2），畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)；（2）如圖10（3），作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（3）如圖10（4），在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PC，延長BP交CD于點(diǎn)E，延長DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)；（4）試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況（說出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明）。解：（1）如圖10（2）所示，點(diǎn)P即為所求（答案不唯一，點(diǎn)P不能畫在AC的中點(diǎn)上）。（2）如圖10（3）所示，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)（答案不唯一）。（3）證明：如圖10（4），連結(jié)DB。因?yàn)椤鱀CF△BCD（AAS），所以CD=CB，所以∠CDB=∠CBD，故∠PDB、∠PBD，所以PD=PB。因?yàn)镻A≠PC，所以點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。（4）①當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直且任何一條對(duì)角線不平分另一條對(duì)角線或者對(duì)角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；②當(dāng)四邊形的對(duì)角線既不垂直，又不互相平分，且有一條對(duì)角線的中垂線經(jīng)過另一對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；③當(dāng)四邊形的對(duì)角線既不垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；④當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直且至少有一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無數(shù)個(gè)（注意點(diǎn)P不能畫在對(duì)角線的中點(diǎn)上）。五、定義一種新的三角形 例7 （2005年天津市）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別用a、b、c表示。（I）如圖11，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠B=，求證；；（II）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”，本題第（I）問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)任意的倍角三角形ABC，其中∠A=2∠B，如圖12，關(guān)系式是否仍然成立？并證明你的結(jié)論；（III）試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊長，使這三條邊長恰好為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)。（I）證明：因?yàn)椤螦=，∠A=2∠B，所以∠C=，所以在Rt△ABC中，，于是，所以。（II）關(guān)系式仍然成立。證明：如圖12，延長BA到D，使AD=AC，連結(jié)CD，則
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