【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 D、4組如果三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上，那么這個(gè)三角形是（ ） A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定三、解答題：如圖，Rt△ABC的∠A的平分線與過(guò)斜邊中點(diǎn)M的垂線交于點(diǎn)D，求證：MA＝MD。 在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，過(guò)D作DF∥BA交AE于點(diǎn)F，DF＝AC，求證：AE平分∠BAC。如圖，在△ABC中，∠B＝，∠C＝600，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，BD＝，AE⊥BC于點(diǎn)E，求EC的長(zhǎng)。如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD，垂足為E，BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證AB垂直平分DF。參考答案一、填空題：380；240；4；14；680二、選擇題：CBCDB三、解答題：過(guò)A作AN⊥BC于N，證∠D＝∠DAM；延長(zhǎng)FE到G，使EG＝EF，連結(jié)CG，證△DEF≌△CEG連結(jié)AD，DF為AB的垂直平分線，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝ ∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6 又∵∠C＝600 ∴EC＝證△ACD≌△CBF知識(shí)考點(diǎn)：理解并掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)精典例題：【例1】已知如圖：在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，點(diǎn)E、F分別在BC和AD邊上，AF＝CE，EF和對(duì)角線BD相交于點(diǎn)O，求證：點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)。分析：構(gòu)造全等三角形或利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明BO＝DO略證：連結(jié)BF、DE 在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC ∴四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BC，AD＝BC 又∵AF＝CE ∴FD∥BE，F(xiàn)D＝BE ∴四邊形BEDF是平行四邊形 ∴BO＝DO，即點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)?！纠?】已知如圖：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)條件需從邊上著手分析，由E、F、G、H分別是各邊上的中點(diǎn)，可聯(lián)想到三角形的中位線定理，連結(jié)AC后，EF和GH的關(guān)系就明確了，此題也便得證。（證明略）變式1：順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。變式2：順次連結(jié)菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。變式3：順次連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。變式4：順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。變式5：若AC＝BD，AC⊥BD，則四邊形EFGH是正方形。變式6：在四邊形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，求證：EFGH是菱形。 變式7：如圖：在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點(diǎn)，△ADE和△BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，求證：四邊形PQMN是菱形。探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題】已知如圖，在△ABC中，∠C＝900，點(diǎn)M在BC上，且BM＝AC，點(diǎn)N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度數(shù)。分析：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求的卻是角的度數(shù)，為此，我們由條件中的直角及相等的線段，可聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，從而應(yīng)該平移AN。略證：過(guò)M作ME∥AN，且ME＝AN，連結(jié)NE、BE，則四邊形AMEN是平行四邊形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中，ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC∴△BEM≌△AMC∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE∴△BEN是等腰直角三角形∴∠BNE＝450∵AM∥NE∴∠BPM＝∠BNE ＝450跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為5和7，則它的一條邊長(zhǎng)的取值范圍是 ?！魽BCD的周長(zhǎng)是30，AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB的周長(zhǎng)比△OBC的周長(zhǎng)大3，則AB＝ 。已知□ABCD中，AB＝2AD，對(duì)角線BD⊥AD，則∠BCD的度數(shù)是 。如圖：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，則△BOC的周長(zhǎng)為 。 如圖：□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，EF過(guò)點(diǎn)O，且EF⊥BC于F，∠1＝300，∠2＝450，OD＝，則AC的長(zhǎng)為 。如圖：過(guò)□ABCD的頂點(diǎn)B作高BE、BF，已知BF＝BE，BC＝16，∠EBF＝300，則AB＝ 。如圖所示，□ABCD的周長(zhǎng)為30，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，則平行四邊形ABCD的面積為 。二、選擇題：若□ABCD的周長(zhǎng)為28，△ABC的周長(zhǎng)為17cm，則AC的長(zhǎng)為（ ）A、11cm B、 C、4cm D、3cm如圖，□ABCD和□EAFC的頂點(diǎn)D、E、F、B在同一條直線上，則下列關(guān)系中正確的是（ ） A、DE＞BF B、DE＝BF C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF 如圖，已知M是□ABCD的AB邊的中點(diǎn)，CM交BD于E，則圖中陰影部分的面積與□ABCD的面積之比是（ ） A、 B、 C、 D、如圖，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝700，AE⊥BD于E，則∠DAE＝（ ） A、200 B、250 C、300 D、350在給定的條件中，能作出平行四邊形的是（ ） A、以60cm為對(duì)角線，20cm、34cm為兩條鄰邊B、以20cm、36cm為對(duì)角線，22cm為一條邊C、以6cm為一條對(duì)角線，3cm、10cm為兩條鄰邊D、以6cm、10cm為對(duì)角線，8cm為一條邊如圖，□ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的中點(diǎn)，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，直線DF交AB的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，CG、DH交于點(diǎn)O，若□ABCD的面積為4，則＝（ ）A、 B、4 C、 D、5 在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是銳角，將△ACD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處，如果AE過(guò)BC的中點(diǎn)O，則□ABCD的面積等于（ ） A、48 B、 C、 D、三、解答題：如圖，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC＝600，BE＝2，CF＝1，連結(jié)DE交AF于點(diǎn)P，求EP的長(zhǎng)。 在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且＝＝＝＝（＞0），閱讀下列材料，然后回答下面的問(wèn)題：如上圖，連結(jié)BD∵＝，＝∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD①連結(jié)AC，則EF與GH是否一定平行，答： ；②當(dāng)值為 時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形；③在②的情形下，對(duì)角線AC和BD只需滿足 條件時(shí)，EFGH為矩形；④在②的情形下，對(duì)角線AC和BD只需滿足 條件時(shí)，EFGH為菱形；已知，在四邊形ABCD中，從①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中取出兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請(qǐng)你具體寫(xiě)出這些組合。如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，D、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，∠CDE＝∠A。（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；（2）若，四邊形EBFD的周長(zhǎng)為22，求DE的長(zhǎng)。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：1＜＜6；9；600；12；8；6；cm2；二、選擇題：DBCABCC三、解答題：提示：由∠B＝∠ADC＝600，BE＝2，AE⊥BC可得AB＝4，再證DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝4＝DC，又∠BCD＝1200，∴∠EDC＝300，求得∠APE＝∠EAP＝600，△AEP為等邊三角形，EP＝AE＝。①是；②任意正數(shù)；③BD⊥AC；④AC＝BD①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③（1）證EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝菱形知識(shí)考點(diǎn)：理解并掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能利用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題。精典例題：【例1】如圖，已知矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度數(shù)。分析：本題充分利用矩形對(duì)角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形的基本圖形進(jìn)行求解。解略，答案450。 【例2】如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使BE＝2AB，連結(jié)EC并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)。分析：本題利用菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線分線段成比例的性質(zhì)定理，可使問(wèn)題得解。解略，答案AF＝?！纠?】如圖，在矩形ABCD中，M是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AM，垂足為E，3AB＝2BC，并且AB、BC的長(zhǎng)是方程的兩根。（1）求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)M離開(kāi)點(diǎn)B多少時(shí)，△ADE的面積是△DEM面積的3倍？請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：用韋達(dá)定理建立線段AB、AC與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系，求出。略解：（1）由韋達(dá)定理可得AB＋BC＝，ABBC＝，又由BC＝AB可消去AB，得出一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，解得＝12，＝，因AB＋BC＝＞0，∴＞2，故＝應(yīng)舍去。（2）當(dāng)＝12時(shí)，AB＋BC＝10，ABBC＝＝24，由于AB＜BC，所以AB＝4，BC＝6，由可得AE＝3EM＝AM。易證△AED∽△MBA得＝，設(shè)AE＝，AM＝，則MB＝，而AB2＋BM2＝AM2，故，解得＝2，MB＝＝4。即當(dāng)MB＝4時(shí)。評(píng)注：本題將幾何問(wèn)題從“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化，這類綜合題既有幾何證明中的分析和推理，又有代數(shù)式的靈活變換、計(jì)算，其解題過(guò)程層次較多，步驟較復(fù)雜，書(shū)寫(xiě)過(guò)程也要加強(qiáng)訓(xùn)練。探索與創(chuàng)新：【問(wèn)題一】如圖，四邊形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知道AD的長(zhǎng)嗎？分析：這個(gè)四邊形是一個(gè)不規(guī)則四邊形，應(yīng)將它補(bǔ)割為規(guī)則四邊形才便于求解。略解：作AE⊥CB的延長(zhǎng)線于E，DF⊥BC的延長(zhǎng)線于F，再作AG⊥DF于G ∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450 ∴△ABE是等腰直角三角形又∵AB＝，∴AE＝BE＝ ∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600 ∴△DCF是含300的直角三角形 ∵CD＝6，CF＝3，DF＝ ∴EF＝＝8 由作圖知四邊形AGFE是矩形 ∴AG＝EF＝8，F(xiàn)G＝AE＝ 從而DG＝DF－FG＝ 在△ADG中，∠AGD＝900 ∴AD＝＝＝＝【問(wèn)題二】把矩形ABCD沿BD折疊至如上圖所示的情形，請(qǐng)你猜想四邊形ABDE是什么圖形，并證明你的猜想。分析與結(jié)論：本題根據(jù)題設(shè)并結(jié)合圖形猜想該四邊形是等腰梯形，利用對(duì)稱及全等三角形的有關(guān)知識(shí)易證。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：若矩形的對(duì)稱中心到兩邊的距離差為4，周長(zhǎng)為56，則這個(gè)矩形的面積為 。已知菱形的銳角是600，邊長(zhǎng)是20cm，則較短的對(duì)角線長(zhǎng)是 cm。如圖，矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝cm，則DE＝ cm。如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PD＝4，PC＝5，則PB＝ 。如圖，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，則∠CEF＝ 。 二、選擇題：在矩形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取點(diǎn)E、F、G、H，使EFGH為矩形，則這樣的矩形（ ） A、僅能作一個(gè) B、可以作四個(gè)C、一般情況下不可作 D、可以作無(wú)窮多個(gè)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P點(diǎn)在AD邊上以每秒1 cm的速度從A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4 cm的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在CB間往返運(yùn)動(dòng)，二點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，待P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)為止，在這段時(shí)間內(nèi)，線段PQ有（ ）次平行于AB。 A、1 B、2 C、3 D、4 如圖，已知矩形紙片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長(zhǎng)和折痕EF的長(zhǎng)分別是（ ） A、4cm、cm B、5cm、cm C、4cm、cm D、5cm、cm給出下面四個(gè)命題：①對(duì)角