【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 sinxxx?00型01l i msinx xx??01sinl i mxxx??11?1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 58 例 1 求 0ta nl imxxx?解 0ta nl imxxx?00型0s in 1l imc o sxxxx???0s i n 1l i mc o sxxxx??? 111??1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 59 with(plots):M:=Pi/2: A:=plot(tan(x),x=M..M,y=5..5): B:=plot(x,x=M..M,y=5..5,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 0ta nl im 1xxx??t a n ( 0 )x x x??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 60 例 2 求 201 c o sl i mxxx??解 00型201 c o sl i mxxx??2202 sin2l imxxx??20si n1 2l i m22xxx?????? ??????20si n1 2l i m22xxx?????? ??????21 12?? 12?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 61 201 c o s 1l im2xxx???0 21 c o sl im12xxx?? 1?推論 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 62 with(plots):M:=5: A:=plot(1cos(x),x=M..M,y=..3): B:=plot(x^2/2,x=M..M,y=..3,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 21 c os (02)xx x???0 21 c osl im 112xxx???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 63 例 求 1l im s inxxx??解 1l im s inxxx??( 0 )?? 型1si nl i m1xxx??? 0()0型1?或令 1tx?x ?? ? 0t ?0sinl imttt??1l im s inxxx??1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 64 with(plots):M:=2: A:=plot(x*sin(1/x),x=M..M,y=..): B:=plot(1,x=M..M,y=..,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=2)。 1l im s in 1xxx???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 65 si n11l i m 1xxx???0s i nl i m 1xxx??應(yīng)從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)這個(gè)極限 l i m 0? ? s inl im 1????() 0si ()nl im 1()??見(jiàn) 《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 48頁(yè) 重要極限的各種形式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 66 例 3 求 0a r c s inl imxxx?解 令 a r c s i n xt?0x ? ? 0t ?0a r c s inl imxxx?0()0型s i nxt?0l imsinttt??1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 67 0a r c s i nl i m 1xxx??( 0 )x ?a r c s i n x x?with(plots):M:=1: y1:=Pi/:y2:=Pi/: A:=plot(arcsin(x),x=M..M,y=y1..y2): B:=plot(x,x=M..M,y=y1..y2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 68 例 3 求 0a r c s inl imxxx?解 令 a r c s i n xt? 0x ?? 0t ?0a r c s inl imxxx?s i nxt?0l imsinttt??1?用類似的方法可得： 0a r c ta nl im 1xxx??0a r c s i nl i m 1xxx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 69 課內(nèi)練習(xí) 求 l im 2 s in2nnnx??解 l im 2 s in2nnnx??si n2l i m2nnnxxx???? x?《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 48頁(yè) 例 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 70 課內(nèi)練習(xí) 求極限 sinl imxxx??解 sinl imxxx??1l im s inxxx????0?無(wú)窮小乘以有界函數(shù) 注 sinl imxxx??不是 00型注意：這不是 重要極限 ！ 見(jiàn)教材 48頁(yè)，例 8 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 71 with(plots):M:=20: y1:=Pi:y2:=Pi: A:=plot(sin(x)/x,x=0..M,y=y1..y2): B:=plot([1/x,1/x],x=..M,y=y1..y2,color=blue): display(A,B,scaling=unconstrained,thickness=2)。 silinm0xxx???1yx?1yx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 72 2. 重要極限 1l im (1 ) xx x???1( ) ( 1 ) xfxx??是冪指函數(shù) 1l im (1 ) xx x??? (1 )? 型先考慮數(shù)列極限： 1l im (1 ) nn n???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 73 在證明之前 我們來(lái)作一個(gè)小的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 用 EXCEL 計(jì)算數(shù)列的若干項(xiàng) EXCEL程序 1( 1 ) nnxn??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 74 觀察：數(shù)列遞增，有上界 3 01231 3 5 7 911 13 15 17 19 21 23 25 27 29系列11 22 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 75 1( 1 ) nnxn?? 21 ( 1 ) 11 . . .2!nnnnn?? ? ? ? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1...! kn n n kkn? ? ?? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1! nn n n nnn? ? ???1 2 2( 1 )()2!( 1 ) ...( ( 1 ) )... ...!n n n nn k k nnna b a na b a bn n n ka b bk????? ? ? ? ?? ? ?? ? ?2( 1 )( 1 ) 12!( 1 ) ...( ( 1 ) )... ...!nknnnb nb bn n n kbbk?? ? ? ? ?? ? ?? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 76 1( 1 ) nnxn?? 21 ( 1 ) 11 . . .2!nnnnn?? ? ? ? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1...! kn n n kkn? ? ?? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1! nn n n nnn? ? ???111 1 ( 1 ) . . .2!nxn? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )!nn n n n?? ? ? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 77 111 1 ( 1 ) . . .2!nxn? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )!nn n n n?? ? ? ?(1) {xn}的單調(diào)性 1111 1 ( 1 ) . . .2 ! 1nxn?? ? ? ? ??1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )! 1 1 1nn n n n?? ? ? ?? ? ?1 1 2( 1 ) ( 1 ) ...( 1 )( 1 ) ! 1 1 1nn n n n? ? ? ?? ? ? ?1nnxx ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 78 (1) {xn}的單調(diào)性 1 ( 1 , 2 , . . . )nnx x n??? {xn}單調(diào)增加 四