【正文】 二、兩個(gè)重要極限 現(xiàn)在，我們利用極限的存在準(zhǔn)則來建立兩個(gè)重要的極限： 一個(gè)極限涉及 三角函數(shù) 另一個(gè)極限涉及 指數(shù)函數(shù) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 45 1. 重要極限 0sinl imxxx?s in()xfxx?是偶函數(shù) 0sinl imxxx?是 型 000sinl im ?xxx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 46 s in xyx?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 47 s in()xfxx?0s i nl i m 1xxx??看上去有極限： 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 48 因?yàn)? 02x ???首先假定 02x ???0x ?設(shè) x 滿足 0sinl imxxx?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 49 作圖 A O B A O B A O D? ? ? ?面 積 扇 形 面 積 面 積由圖形可知 1 s in2A O B x?? 面 積212xA O B ??? ? ?扇 形 面 積1 ta n2A O D x?? 面 積O1ABxD11sinxtanx2x? x 是弧度 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 50 因此 11s i n t a n2 2 2xxx??或 s i n t a nx x x??(0 )2x ???A O B A O B A O D? ? ? ?面 積 扇 形 面 積 面 積1 s in2A O B x??面 積2xA O B ?扇 形 面 積1 ta n2A O D x?? 面 積O1ABxD11sinxtanx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 51 s i n t a nx x x??(0 )2x ???s ins inc o sxxxx?? 11s in c o sxxx??s i nc o s 1xxx?? (0 )2x???02x?? ? ?現(xiàn)在設(shè) 則 02x ?? ? ?于是 s i n ( )c o s ( ) 1xxx?? ? ??s i nc o s 1xxx??仍有 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 52 s i nc o s 1xxx?? (0 )2x ???得到 因?yàn)? 0l im c o s 1x x? ?由夾逼定理，我們得到極限： 0s i nl i m 1xxx??我們已經(jīng)成功地將 sinx/x 夾在 cosx 和 1 之間 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 54 s in 1xx? (0 )2x???注 由 得 s in xx?(0 )2x ???s in xx? ( 0 )2x?? ? ?若 2x ??仍有 s in xx?所以 s in xx?( 0)x ?同理 s in xx? ( 0)x ? s i n xx? ()x?? R常用公式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 55 with(plots):M:=4: A:=plot(sin(x),x=M..M,y=2..2): B:=plot(x,x=M..M,y=1..2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 32 例 設(shè) 1 10x ? 216xx??4?326xx??10?...16nnxx ???證明數(shù)列 {xn}收斂，并求其極限。 最小上界 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 24 2x 4x1x 3x nx... Msup nx設(shè) {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}有上界： M?nxM? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? sup nx?M?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 25 設(shè) {xn}是遞減數(shù)列 ： 且 {xn}有下界： m?nxm? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? in f nx?m?1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?下確界 infimum 最大下界 準(zhǔn)則 II （數(shù)列的 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 。 方法是： 將 f(x) 適當(dāng)縮小為 g(x)，再適當(dāng)放大為 h(x)， 使得 limg(x) = limh(x) = A（極限要容易求得） 則 limf(x) = A 常用形式： ( ) ( )f x g x?l i m ( ) 0gx ?? l i m ( ) 0fx ?《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 46頁 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 13 例 證明 ： 0l im c o s 1xx??證 0l im c o s 1xx??等價(jià)于 0l im ( 1 c os ) 0xx???1 c o s x? 22 s in2x?s i n xx?22 ( )2x?? 212x?201l im2xx?0? 由夾逼準(zhǔn)則 0l im ( 1 c os ) 0xx??? 0l im c os 1x x???21 c o s 2 s in2xx??這是我們證明的第一個(gè)三角函數(shù) 的極限 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 14 例 求極限 2 2 2l im ( . . . )2nn n nn n n n? ? ???? ? ?? ? ?解 教材 56頁 , 習(xí)題 4(2) 2 2 2...2nn n nxn n n n? ? ?? ? ? ?? ? ?2nn?nx 2nn?...??2nnn?? 2nnn ???...?nx 1?nn ???l imnnn ??? ?1?l i m 1nn x????2 2 2l i m ( . . . ) 12nn n nn n n n? ? ???? ? ? ?? ? ?適當(dāng)放大 適當(dāng)縮小 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 15 《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 28頁 例 1995年數(shù)學(xué)二考研題 2 2 2l i m ( . . . ) 12nn n nn n n n? ? ???? ? ? ?? ? ?類似的例子： 2 2 212l im ( . . . )12nnn n n n n n n??? ? ?? ? ? ? ? ?自學(xué) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 16 利用夾逼準(zhǔn)則，可以證明下列有用的極限： l i m 1nnn???l i m 1nna??? ( 0)a ?l im 0nnna??? ( 1)a ?《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 25頁 表 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 17 例 證明： l i m 1nnn???證 lim nnn??1lim nnn??? 0()? 型只需證明： l i m ( 1 ) 0nnn????令 1n n? ?? 1n n ??? ( 0 )? ?只需證明： lim 0n ??? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 18 令 1n n? ?? 1n n ???(1 ) nn ??? 2( 1 )1 . . .2!nnnn ? ? ??? ? ? ? ?( 0 )? ?2( 1 )2!nnn ??? 2 201n????只需證明： lim 0n ??? ?2li m1n n?? ?0? 由夾逼性 2li m 0n???? lim 0n ??? ? l im 1nnn????四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 19 課內(nèi)練習(xí) 01l i m [ ] 1xxx???1[]x1 1x?? 1x?1[]xx1( 1 )xx? ? ? 1xx??1 x?? 1?0l im (1 )xx???1?01l i m [ ] 1xxx???由夾逼準(zhǔn)則 教材 57頁 習(xí)題 4(5) 1 [ ]x x x? ? ?01l im [ ] ?xxx???思考： 利用夾逼準(zhǔn)則證明： 提示 利用不等式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 20 《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 46頁 例 1[]yxx?01l i m [ ] 1xxx???01l i m [ ] 1xxx???01l im [ ] 1xxx??課外作業(yè)： 證明： 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 21 我們知道：收斂數(shù)列一定是有界數(shù)列， 但是有界數(shù)列不一定收斂。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 1 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版