【正文】 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 85 Last update: August 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 86 evalf(exp(1),100)。 設(shè) l i m nnxA???0是數(shù)列的下界。 觀察： 122,33,4,1nn ?,... ,...{}1nn ?單調(diào)遞增 有上界 最小上界： sup 1nx ?極限： l i m1nnn?? ?1? supnx?上確界 supremum 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 23 設(shè) {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}有上界： M?nxM? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? sup nx?M?準(zhǔn)則 II （數(shù)列的 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 1 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 2 我們已經(jīng)會(huì)計(jì)算一些 代數(shù)函數(shù) （如多項(xiàng)式、有理函數(shù)）的極限， 但是還不會(huì)計(jì)算 超越函數(shù) （如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)）的極限。 最小上界 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 24 2x 4x1x 3x nx... Msup nx設(shè) {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}有上界： M?nxM? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? sup nx?M?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 25 設(shè) {xn}是遞減數(shù)列 ： 且 {xn}有下界： m?nxm? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? in f nx?m?1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?下確界 infimum 最大下界 準(zhǔn)則 II （數(shù)列的 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 。 16nnxx ???? 216nnxx ???對(duì)于單減數(shù)列只需說(shuō)明它有下界 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 39 設(shè) l i m nnxA???16nnxx ???? 216nnxx ???2limnn x?? 1l i m ( 6 )nnx ?????2A 6 A??2 60AA? ? ? ( 3 ) ( 2 ) 0AA? ? ?3A ? 2A ??（舍去） l i m 3nnx????3 是數(shù)列的最大下界 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 44 二、兩個(gè)重要極限 現(xiàn)在，我們利用極限的存在準(zhǔn)則來(lái)建立兩個(gè)重要的極限： 一個(gè)極限涉及 三角函數(shù) 另一個(gè)極限涉及 指數(shù)函數(shù) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 45 1. 重要極限 0sinl imxxx?s in()xfxx?是偶函數(shù) 0sinl imxxx?是 型 000sinl im ?xxx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 46 s in xyx?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 47 s in()xfxx?0s i nl i m 1xxx??看上去有極限： 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 48 因?yàn)? 02x ???首先假定 02x ???0x ?設(shè) x 滿足 0sinl imxxx?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 49 作圖 A O B A O B A O D? ? ? ?面 積 扇 形 面 積 面 積由圖形可知 1 s in2A O B x?? 面 積212xA O B ??? ? ?扇 形 面 積1 ta n2A O D x?? 面 積O1ABxD11sinxtanx2x? x 是弧度 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 50 因此 11s i n t a n2 2 2xxx??或 s i n t a nx x x??(0 )2x ???A O B A O B A O D? ? ? ?面 積 扇 形 面 積 面 積1 s in2A O B x??面 積2xA O B ?扇 形 面 積1 ta n2A O D x?? 面 積O1ABxD11sinxtanx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 51 s i n t a nx x x??(0 )2x ???s ins inc o sxxxx?? 11s in c o sxxx??s i nc o s 1xxx?? (0 )2x???02x?? ? ?現(xiàn)在設(shè) 則 02x ?? ? ?于是 s i n ( )c o s ( ) 1xxx?? ? ??s i nc o s 1xxx??仍有 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 52 s i nc o s 1xxx?? (0 )2x ???得到 因?yàn)? 0l im c o s 1x x? ?由夾逼定理，我們得到極限： 0s i nl i m 1xxx??我們已經(jīng)成功地將 sinx/x 夾在 cosx 和 1 之間 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 54 s in 1xx? (0 )2x???注 由 得 s in xx?(0 )2x ???s in xx? ( 0 )2x?? ? ?若 2x ??仍有 s in xx?所以 s in xx?( 0)x ?同理 s in xx? ( 0)x ? s i n xx? ()x?? R常用公式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 55 with(plots):M:=4: A:=plot(sin(x),x=M..M,y=2..2): B:=plot(x,x=M..M,y=1..2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 59574966967627724076630353547594571382178525166427 evalf(exp(1),1000)。 silinm0xxx???1yx?1yx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 72 2. 重要極限 1l im (1 ) xx x???1( ) ( 1 ) xfxx??是冪指函數(shù) 1l im (1 ) xx x??? (1 )? 型先考慮數(shù)列極限： 1l im (1 ) nn n???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 73 在證明之前 我們來(lái)作一個(gè)小的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 用 EXCEL 計(jì)算數(shù)列的若干項(xiàng) EXCEL程序 1( 1 ) nnxn??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 74 觀察：數(shù)列遞增，有上界 3 01231 3 5 7 911 13 15 17 19 21 23 25 27 29系列11 22 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 75 1( 1 ) nnxn?? 21 ( 1 ) 11 . . .2!nnnnn?? ? ? ? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1...! kn n n kkn? ? ?? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1! nn n n nnn? ? ???1 2 2( 1 )()2!( 1 ) ...( ( 1 ) )... ...!n n n nn k k nnna b a na b a bn n n ka b bk????? ? ? ? ?? ? ?? ? ?2( 1 )( 1 ) 12!( 1 ) ...( ( 1 ) )... ...!nknnnb nb bn n n kbbk?? ? ? ? ?? ? ?? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 76 1( 1 ) nnxn?? 21 ( 1 ) 11 . . .2!nnnnn?? ? ? ? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1...! kn n n kkn? ? ?? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1! nn n n nnn? ? ???111 1 ( 1 ) . . .2!nxn? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )!nn n n n?? ? ? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要