【正文】 21 c os (02)xx x???0 21 c osl im 112xxx???四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 63 例 求 1l im s inxxx??解 1l im s inxxx??( 0 )?? 型1si nl i m1xxx??? 0()0型1?或令 1tx?x ?? ? 0t ?0sinl imttt??1l im s inxxx??1?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 64 with(plots):M:=2: A:=plot(x*sin(1/x),x=M..M,y=..): B:=plot(1,x=M..M,y=..,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=2)。 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 3 一、極限存在準則 本節(jié)將給出兩個極限存在準則： 夾逼準則 和 單調(diào)有界準則 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 4 準則 I （數(shù)列的 夾逼準則 ） 設有三個數(shù)列： {}nx {}ny {}nz若它們滿足條件： （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA??? l i m nnzA???則 l i m nnxA???Squeeze Theorem 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 5 示意圖 （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA??? l i m nn zA?? ?則 l i m nnxA???An n ny x z四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 6 （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA???則 l i m nnxA???證明 0???l im nnyA????1N? nA y A??? ? ? ?1()nN?l i m nnzA????2N? nA z A??? ? ? ?2()nN?l i m nnzA???An n ny x zA ??A ??1nN?An n ny x zA ??A ??2nN?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 7 l im nnyA????nA y A??? ? ? ? 1()nN?l i m nnzA????nA z A??? ? ? ? 2()nN?0???12m a x { , }N N N??12m a x { , }n N N N???nAy??? nzA ???nx??l i m nnxA????An n ny x zA ??A ??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 8 n n ny x zAB注意：若 則不能形成夾逼： l i m nnyA???? l i m nn zB?? ??l im nnx??可 能 不 存 在 ！四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 9 準則 I’ （函數(shù)的 夾逼準則 ） 設在 x0 的某個去心鄰域內(nèi)有 ( 1 ) ( ) ( ) ( )g x f x h x??00( 2 ) l i m ( ) l i m ( )x x x xg x h x A????則 0l i m ( )xxf x A??這個結論稱為 夾逼準則 This theorem is called the Squeeze Theorem. 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 10 0x()fxA()gx()hxGeometrical interpretation of the Squeeze Theorem 0l i m ( )xxf x A??)( )) ((fxgx hx??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 11 The Squeeze Theorem is also known as the Sandwich Theorem. ()fx()hx()gxThe Sandwich Theorem 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 12 利用夾逼準則，我們可以求一些困難的極限。 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 32 例 設 1 10x ? 216xx??4?326xx??10?...16nnxx ???證明數(shù)列 {xn}收斂，并求其極限。 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 3四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 87 evalf(exp(1),3000)。 有下界的實數(shù)集必有 下確界 （ 最大下界 ）。 以下準則表明：有界的單調(diào)數(shù)列一定收斂。 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 68 例 3 求 0a r c s inl imxxx?解 令 a r c s i n xt? 0x ?? 0t ?0a r c s inl imxxx?s i nxt?0l imsinttt??1?用類似的方法可得： 0a r c ta nl im 1xxx??0a r c s i nl i m 1xxx??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 69 課內(nèi)練習 求 l im 2 s in2nnnx??解 l im 2 s in2nnnx??si n2l i m2nnnxxx???? x?《 高等數(shù)學學習手冊 》 48頁 例 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 70 課內(nèi)練習 求極限 sinl imxxx??解 sinl imxxx??1l im s inxxx????0?無窮小乘以有界函數(shù) 注 sinl imxxx??不是 00型注意：這不是 重要極限 ！ 見教材 48頁，例 8 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 71 with(plots):M:=20: y1:=Pi:y2:=Pi: A:=plot(sin(x)/x,x=0..M,y=y1..y2): B:=plot([1/x,1/x],x=..M,y=y1..y2,color=blue): display(A,B,scaling=unconstrained,thickness=2)。 (in 0)s xxx ??s i n x x?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 56 重要極限 0s i nl i m 1xxx??s in1xx?( 0 )x ?s in x x?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 57 例 求 0l imsinxxx?解 0l imsinxxx?00型01l i msinx xx??01sinl i mxxx??11?1?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 58 例 1 求 0ta nl imxxx?解 0ta nl imxxx?00型0s in 1l imc o sxxxx???0s i n 1l i mc o sxxxx??? 111??1?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 59 with(plots):M:=Pi/2: A:=plot(tan(x),x=M..M,y=5..5): B:=plot(x,x=M..M,y=5..5,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 本節(jié)將介紹若干極限存在準則，并用它們來建立兩個重要的極限。 證 現(xiàn)在來證明我們的觀察 (1) 數(shù)列 {xn} 的單調(diào)性 首先 12xx?歸納假設 1nnxx? ?欲證 1nnxx ??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 37 1 10x ?...16nnxx ???證 (1) 數(shù)列 {xn} 的單調(diào)性 首先 12xx?歸納假設 1nnxx? ?欲證 1nnxx ??事實上 nx 16 nx ??? 6 nx??1nx ??所以數(shù)列 {xn} 單調(diào)遞減 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 38 1 10x ?...16nnxx ???(2) 數(shù)列 {xn} 的有界性 有界性是顯然的，因為 0nx ? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?由數(shù)列的單調(diào)有界準則，數(shù)列收斂。 59574966967627724076630353547594571382178525166427 evalf(exp(1),1000)。 最小上界 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 24 2x 4x1x 3x nx... Msup nx設 {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}有上界： M?nxM? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則