【正文】 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 24 2x 4x1x 3x nx... Msup nx設(shè) {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}有上界： M?nxM? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? sup nx?M?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 25 設(shè) {xn}是遞減數(shù)列 ： 且 {xn}有下界： m?nxm? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? in f nx?m?1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?下確界 infimum 最大下界 準(zhǔn)則 II （數(shù)列的 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 26 設(shè) {xn}是遞減數(shù)列 ： 且 {xn}有下界： m?nxm? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? in f nx?m?1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?inf nx2x4x 1x3xnx...m四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 27 確界的存在性？ 公理 (《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 10頁(yè) )： 有上界的實(shí)數(shù)集必有 上確界 （ 最小上界 ）。 有下界的實(shí)數(shù)集必有 下確界 （ 最大下界 ）。 inf nx sup nx見：江澤堅(jiān) 《 數(shù)學(xué)分析 》 （上冊(cè)） 4頁(yè) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 29 設(shè) {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}無上界： 則 {xn}發(fā)散到正無窮大： l im nnx??? ? ?2x 4x1x 3x nx... ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 30 設(shè) {xn}是遞減數(shù)列 ： 且 {xn}無下界： 則數(shù)列發(fā)散到負(fù)無窮大： l im nnx??? ? ?1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?2x4x 1x3xnx...??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 31 數(shù)列極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則可以用來求一些困難的數(shù)列極限： 有時(shí)，我們很難直接判斷一個(gè)數(shù)列的收斂性，但比較容易判定該數(shù)列的單調(diào)性和有界性，從而知道該數(shù)列的收斂性。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 32 例 設(shè) 1 10x ? 216xx??4?326xx??10?...16nnxx ???證明數(shù)列 {xn}收斂，并求其極限。 《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 29頁(yè) 例 (1996年數(shù)學(xué)一考研題 ) 《 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo) 》 26頁(yè) 例 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 33 在證明之前 我們來作一個(gè)小的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 用 EXCEL 計(jì)算數(shù)列的若干項(xiàng) EXCEL程序 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 34 1 3 5 7 911 13 15 17系列1觀察：數(shù)列遞減，無限逼近于 3 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 35 EXCEL很聰明 特別擅長(zhǎng)計(jì)算歸納定義的數(shù)列 大家不妨試一試 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 36 例 設(shè) 1 10x ? 216xx??4?326xx??10?...16nnxx ???證明數(shù)列 {xn}收斂，并求其極限。 證 現(xiàn)在來證明我們的觀察 (1) 數(shù)列 {xn} 的單調(diào)性 首先 12xx?歸納假設(shè) 1nnxx? ?欲證 1nnxx ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 37 1 10x ?...16nnxx ???證 (1) 數(shù)列 {xn} 的單調(diào)性 首先 12xx?歸納假設(shè) 1nnxx? ?欲證 1nnxx ??事實(shí)上 nx 16 nx ??? 6 nx??1nx ??所以數(shù)列 {xn} 單調(diào)遞減 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 38 1 10x ?...16nnxx ???(2) 數(shù)列 {xn} 的有界性 有界性是顯然的，因?yàn)? 0nx ? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?由數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)則，數(shù)列收斂。 設(shè) l i m nnxA???0是數(shù)列的下界。 16nnxx ???? 216nnxx ???對(duì)于單減數(shù)列只需說明它有下界 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 39 設(shè) l i m nnxA???16nnxx ???? 216nnxx ???2limnn x?? 1l i m ( 6 )nnx ?????2A 6 A??2 60AA? ? ? ( 3 ) ( 2 ) 0AA? ? ?3A ? 2A ??（舍去） l i m 3nnx????3 是數(shù)列的最大下界 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 44 二、兩個(gè)重要極限 現(xiàn)在，我們利用極限的存在準(zhǔn)則來建立兩個(gè)重要的極限： 一個(gè)極限涉及 三角函數(shù) 另一個(gè)極限涉及 指數(shù)函數(shù) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 45 1. 重要極限 0sinl imxxx?s in()xfxx?是偶函數(shù) 0sinl imxxx?是 型 000sinl im ?xxx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 46 s in xyx?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 47 s in()xfxx?0s i nl i m 1xxx??看上去有極限： 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 48 因?yàn)? 02x ???首先假定 02x ???0x ?設(shè) x 滿足 0sinl imxxx?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 49 作圖 A O B A O B A O D? ? ? ?面 積 扇 形 面 積 面 積由圖形可知 1 s in2A O B x?? 面 積212xA O B ??? ? ?扇 形 面 積1 ta n2A O D x?? 面 積O1ABxD11sinxtanx2x? x 是弧度 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 50 因此 11s i n t a n2 2 2xxx??或 s i n t a nx x x??(0 )2x ???A O B A O B A O D? ? ? ?面 積 扇 形 面 積 面 積1 s in2A O B x??面 積2xA O B ?扇 形 面 積1 ta n2A O D x?? 面 積O1ABxD11sinxtanx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 51 s i n t a nx x x??(0 )2x ???s ins inc o sxxxx?? 11s in c o sxxx??s i nc o s 1xxx?? (0 )2x???02x?? ? ?現(xiàn)在設(shè) 則 02x ?? ? ?于是 s i n ( )c o s ( ) 1xxx?? ? ??s i nc o s 1xxx??仍有 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 52 s i nc o s 1xxx?? (0 )2x ???得到 因?yàn)? 0l im c o s 1x x? ?由夾逼定理，我們得到極限： 0s i nl i m 1xxx??我們已經(jīng)成功地將 sinx/x 夾在 cosx 和 1 之間 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 54 s in 1xx? (0 )2x???注 由 得 s in xx?(0 )2x ???s in xx? ( 0 )2x?? ? ?若 2x ??仍有 s in xx?所以 s in xx?( 0)x ?同理 s in xx? ( 0)x ? s i n xx? ()x?? R常用公式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 55 with(plots):M:=4: A:=plot(sin(x),x=M..M,y=2..2): B:=plot(x,x=M..M,y=1..2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 (in 0)s xxx ??s i n x x?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 56 重要極限 0s i nl i m 1xxx??s in1xx?( 0 )x ?s in x x?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 57 例 求 0l imsinxxx?解 0l im