【正文】 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 2 我們已經(jīng)會(huì)計(jì)算一些 代數(shù)函數(shù) （如多項(xiàng)式、有理函數(shù)）的極限， 但是還不會(huì)計(jì)算 超越函數(shù) （如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)）的極限。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 3 一、極限存在準(zhǔn)則 本節(jié)將給出兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則： 夾逼準(zhǔn)則 和 單調(diào)有界準(zhǔn)則 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 4 準(zhǔn)則 I （數(shù)列的 夾逼準(zhǔn)則 ） 設(shè)有三個(gè)數(shù)列： {}nx {}ny {}nz若它們滿足條件： （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA??? l i m nnzA???則 l i m nnxA???Squeeze Theorem 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 5 示意圖 （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA??? l i m nn zA?? ?則 l i m nnxA???An n ny x z四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 6 （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA???則 l i m nnxA???證明 0???l im nnyA????1N? nA y A??? ? ? ?1()nN?l i m nnzA????2N? nA z A??? ? ? ?2()nN?l i m nnzA???An n ny x zA ??A ??1nN?An n ny x zA ??A ??2nN?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 7 l im nnyA????nA y A??? ? ? ? 1()nN?l i m nnzA????nA z A??? ? ? ? 2()nN?0???12m a x { , }N N N??12m a x { , }n N N N???nAy??? nzA ???nx??l i m nnxA????An n ny x zA ??A ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 8 n n ny x zAB注意：若 則不能形成夾逼： l i m nnyA???? l i m nn zB?? ??l im nnx??可 能 不 存 在 ！四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 9 準(zhǔn)則 I’ （函數(shù)的 夾逼準(zhǔn)則 ） 設(shè)在 x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有 ( 1 ) ( ) ( ) ( )g x f x h x??00( 2 ) l i m ( ) l i m ( )x x x xg x h x A????則 0l i m ( )xxf x A??這個(gè)結(jié)論稱為 夾逼準(zhǔn)則 This theorem is called the Squeeze Theorem. 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 10 0x()fxA()gx()hxGeometrical interpretation of the Squeeze Theorem 0l i m ( )xxf x A??)( )) ((fxgx hx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 11 The Squeeze Theorem is also known as the Sandwich Theorem. ()fx()hx()gxThe Sandwich Theorem 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 12 利用夾逼準(zhǔn)則，我們可以求一些困難的極限。 觀察： 122,33,4,1nn ?,... ,...{}1nn ?單調(diào)遞增 有上界 最小上界： sup 1nx ?極限： l i m1nnn?? ?1? supnx?上確界 supremum 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 23 設(shè) {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}有上界： M?nxM? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? sup nx?M?準(zhǔn)則 II （數(shù)列的 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 。 inf nx sup nx見：江澤堅(jiān) 《 數(shù)學(xué)分析 》 （上冊(cè)） 4頁(yè) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 29 設(shè) {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}無(wú)上界： 則 {xn}發(fā)散到正無(wú)窮大： l im nnx??? ? ?2x 4x1x 3x nx... ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 30 設(shè) {xn}是遞減數(shù)列 ： 且 {xn}無(wú)下界： 則數(shù)列發(fā)散到負(fù)無(wú)窮大： l im nnx??? ? ?1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?2x4x 1x3xnx...??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 31 數(shù)列極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則可以用來(lái)求一些困難的數(shù)列極限： 有時(shí)，我們很難直接判斷一個(gè)數(shù)列的收斂性，但比較容易判定該數(shù)列的單調(diào)性和有界性，從而知道該數(shù)列的收斂性。 設(shè) l i m nnxA???0是數(shù)列的下界。 21 c os (02)xx x???0 21 c osl im 112xxx???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 63 例 求 1l im s inxxx??解 1l im s inxxx??( 0 )?? 型1si nl i m1xxx??? 0()0型1?或令 1tx?x ?? ? 0t ?0sinl imttt??1l im s inxxx??1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 64 with(plots):M:=2: A:=plot(x*sin(1/x),x=M..M,y=..): B:=plot(1,x=M..M,y=..,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=2)。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 85 Last update: August 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 86 evalf(exp(1),100)。 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 2 8 7 4 7 1 3 5 2 6 6 2 4 9 7 7 5 7 2 4 7 0 9 3 6 9 9 9 5 9 5 7 4 9 6 6 9 6 7 6 2 7 7 2 4 0 7 6 6 3 0 3 5 3 5 4 7 5 9 4 5 7 1 3 8 2 1 7 8 5 2 5 1 6 6 4 2 7 4 2 7 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5 \9 9 2 1 8 1 7 4 1 3 5 9 6 6 2 9 0 4 3 5 7 2 9 0 0 3 3 4 2 9 5 2 6 0 5 9 5 6 3 0 7 3 8 1 3 2 3 2 8 6 2 7 9 4 3 4 9 0 7 6 3 2 3 3 8 2 9 8 8 0 7 5 3 1 9 5 2 5 1 0 1 9 0 1 1 5 7 3 8 3 4 1 8 7 9 3 0 7 0 2 1 5 4 0 8 9 1 4 9 9 3 4 8 8 4 1 6 \7 5 0 9 2 4 4 7 6 1 4 6 0 6 6 8 0 8 2 2 6 4 8 0 0 1 6 8 4 7 7 4 1 1 8 5 3 7 4 2 3 4 5 4 4 2 4 3 7 1 0 7 5 3 9 0 7 7 7 4 4 9 9 2 0 6 9 5 5 1 7 0 2 7 6 1 8 3 8 6 0 6 2 6 1 3 3 1 3 8 4 5 8 3 0 0 0 7 5 2 0 4 4 9 3 3 8 2 6 5 6 0 2 9 7 6 0 \6 7 3 7 1 1 3 2 0 0 7 0 9 3 2 8 7 0 9 1 2 7 4 4 3 7 4 7 0 4 7 2 3 0 6 9 6 9 7 7 2 0 9 3 1 0 1 4 1 6 9 2 8 3 6 8 1 9 0 2 5 5 1 5 1 0 8 6 5 7 4 6 3 7 7 2 1 1 1 2 5 2 3 8 9 7 8 4 4 2 5 0 5 6 9 5 3 6 9 6 7 7 0 7 8 5 4 4 9 9 6 9 9 6 7 9 4 \6 8 6 4 4 5 4 9 0 5 9 8 7 9 3 1 6 3 6 8 8 9 2 3 0 0 9 8 7 9 3 1 2 7 7 3 6 1 7 8 2 1 5 4 2 4 9 9 9 2 2 9 5 7 6 3 5 1 4 8 2 2 0 8 2 6 9 8 9 5 1 9 3 6 6 8 0 3 3 1 8 2 5 2 8 8 6 9 3 9 8 4 9 6 4 6 5 1 0 5 8 2 0 9 3 9 2 3 9 8 2 9 4 8 8 7 9 \3 3 2 0 3 6 2 5 0 9 4 4 3 1 1 7 3 0 1 2 3 8 1 9 7 0 6 8 4 1 6 1 4 0 3 9 7 0 1 9 8 3 7 6 7 9 3 2 0 6 8 3 2 8 2 3 7 6 4 6 4 8 0 4 2 9 5 3 1 1 8 0 2 3 2 8 7 8 2 5 0 9 8 1 9 4 5 5 8 1 5 3 0 1 7 5 6 7 1 7 3 6 1 3 3 2 0 6 9 8 1 1 2 5 0 9 9 \6 1 8 1 8 8 1 5 9 3 0 4 1 6 9 0 3 5 1 5 9 8 8 8 8 5 1 9 3 4 5 8 0 7 2 7 3 8 6 6 7 3 8 5 8 9 4 2 2 8 7 9 2 2 8 4 9 9 8 9 2 0 8 6 8 0 5 8 2 5 7 4 9 2 7 9 6 1 0 4 8 4 1 9 8 4 4 4 3 6 3 4 6 3 2 4 4 9 6 8 4 8 7 5 6 0 2 3 3 6 2 4 8 2 7 0 4 \1 9 7 8 6 2 3 2 0 9 0 0 2 1 6 0