【正文】 極限 77 111 1 ( 1 ) . . .2!nxn? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )!nn n n n?? ? ? ?(1) {xn}的單調(diào)性 1111 1 ( 1 ) . . .2 ! 1nxn?? ? ? ? ??1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )! 1 1 1nn n n n?? ? ? ?? ? ?1 1 2( 1 ) ( 1 ) ...( 1 )( 1 ) ! 1 1 1nn n n n? ? ? ?? ? ? ?1nnxx ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 78 (1) {xn}的單調(diào)性 1 ( 1 , 2 , . . . )nnx x n??? {xn}單調(diào)增加 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 79 111 1 ( 1 ) . . .2!nxn? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )!nn n n n?? ? ? ?(2) {xn}的有界性 1 1 11 1 . . .2 ! 3 ! !nxn? ? ? ? ? ?211 1 11 1 . . .2 2 2 n ?? ? ? ? ? ?12 ! ( 2 )n nn? ??111 ( 2 )!2 nnn ???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 80 1 1 11 1 . . .2 ! 3 ! !nxn? ? ? ? ? ?211 1 11 1 . . .2 2 2 n ?? ? ? ? ? ?1121112n????1112??3? ( 1 , 2 , . . . )n ?3是數(shù)列的上界 故 {xn}有界 21 11 . . .1nn qq q qq? ?? ? ? ? ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 81 1l i m ( 1 ) nn n????存在 1l im (1 ) nn n???3?且 記 1l im ( 1 ) nnen????2 . 7 1 8 2 8 . . . .e ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 82 eE u le r1 7 0 7 1 7 8 3?Swiss mathematician 1737年， Euler證明： e 是無(wú)理數(shù) 1873年， Hermite證明： e 是超越數(shù)（不是代數(shù)方程的解） 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 83 1737年， Euler證明： e 是無(wú)理數(shù) 1873年， Hermite證明： e 是超越數(shù)（不是代數(shù)方程的解） In 1748 Leonard Euler found the value of e correct to 23 digits. In 2022 Xavier Gourdon and S. Kondo, using puters, puted e to more than 12 billion decimal places. From Stewart’s Calculus (5th ed.), p765 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 84 In 1748 Leonard Euler used this equation to find the value of e correct to 23 digits. In 2022 Xavier Gourdon and S. Kondo, again using the series, puted e to more than 12 billion decimal places. From Stewart’s Calculus (5th ed.), p765 2022年 Kondo and Yee 將 e 計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后 1 trillion (萬(wàn)億 ) 位。 證 現(xiàn)在來證明我們的觀察 (1) 數(shù)列 {xn} 的單調(diào)性 首先 12xx?歸納假設(shè) 1nnxx? ?欲證 1nnxx ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 37 1 10x ?...16nnxx ???證 (1) 數(shù)列 {xn} 的單調(diào)性 首先 12xx?歸納假設(shè) 1nnxx? ?欲證 1nnxx ??事實(shí)上 nx 16 nx ??? 6 nx??1nx ??所以數(shù)列 {xn} 單調(diào)遞減 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 38 1 10x ?...16nnxx ???(2) 數(shù)列 {xn} 的有界性 有界性是顯然的，因?yàn)? 0nx ? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?由數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)則，數(shù)列收斂。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 22 準(zhǔn)則 II （數(shù)列的 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 。 本節(jié)將介紹若干極限存在準(zhǔn)則，并用它們來建立兩個(gè)重要的極限。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 26 設(shè) {xn}是遞減數(shù)列 ： 且 {xn}有下界： m?nxm? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? in f nx?m?1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?inf nx2x4x 1x3xnx...m四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 27 確界的存在性？ 公理 (《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 10頁(yè) )： 有上界的實(shí)數(shù)集必有 上確界 （ 最小上界 ）。 (in 0)s xxx ??s i n x x?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 56 重要極限 0s i nl i m 1xxx??s in1xx?( 0 )x ?s in x x?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 57 例 求 0l imsinxxx?解 0l imsinxxx?00型01l i msinx xx??01sinl i mxxx??11?1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 58 例 1 求 0ta nl imxxx?解 0ta nl imxxx?00型0s in 1l imc o sxxxx???0s i n 1l i mc o sxxxx??? 111??1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 59 with(plots):M:=Pi/2: A:=plot(tan(x),x=M..M,y=5..5): B:=plot(x,x=M..M,y=5..5,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 2 8 7 4 7 1 3 5 2 6 6 2 4 9 7 7 5 7 2 4 7 0 9 3 6 9 9 9 5 9 5 7 4 9 6 6 9 6 7 6 2 7 7 2 4 0 7 6 6 3 0 3 5 3 5 4 7 5 9 4 5 7 1 3 8 2 1 7 8 5 2 5 1 6 6 4 2 7 4 2 7 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5 \9 9 2 1 8 1 7 4 1 3 5 9 6 6 2 9 0 4 3 5 7 2 9 0 0 3 3 4 2 9 5 2 6 0 5 9 5 6 3 0 7 3 8 1 3 2 3 2 8 6 2 7 9 4 3 4 9 0 7 6 3 2 3 3 8 2 9 8 8 0 7 5 3 1 9 5 2 5 1 0 1 9 0 1 1 5 7 3 8 3 4 1 8 7 9 3 0 7 0 2 1 5 4 0 8 9 1 4 9 9 3 4 8 8 4 1 6 \7 5 0 9 2 4 4 7 6 1 4 6 0 6 6 8 0 8 2 2 6 4 8 0 0 1 6 8 4 7 7 4 1 1 8 5 3 7 4 2 3 4 5 4 4 2 4 3 7 1 0 7 5 3 9 0 7 7 7 4 4 9 9 2 0 6 9 5 5 1 7 0 2 7 6 1 8 3 8 6 0 6 2 6 1 3 3 1 3 8 4 5 8 3 0 0 0 7 5 2 0 4 4 9 3 3 8 2 6 5 6 0 2 9 7 6 0 \6 7 3 7 1 1 3 2 0 0 7 0 9 3 2 8 7 0 9 1 2 7 4 4 3 7 4 7 0 4 7 2 3 0 6 9 6 9 7 7 2 0 9 3 1 0 1 4 1 6 9 2 8 3 6 8 1 9 0 2 5 5 1 5 1 0 8 6 5 7 4 6 3 7 7 2 1 1 1 2 5 2 3 8 9 7 8 4 4 2 5 0 5 6 9 5 3 6 9 6 7 7 0 7 8 5 4 4 9 9 6 9 9 6 7 9 4 \6 8 6 4 4 5 4 9 0 5 9 8 7 9 3 1 6 3 6 8 8 9 2 3 0 0 9 8 7 9 3 1 2 7 7 3 6 1 7 8 2 1 5 4 2 4 9 9 9 2 2 9 5 7 6 3 5 1 4 8 2 2 0 8 2 6 9 8 9 5 1 9 3 6 6 8 0 3 3 1 8 2 5 2 8 8 6 9 3 9 8 4 9 6 4 6 5 1 0 5 8 2 0 9 3 9 2 3 9 8 2 9 4 8 8 7 9 \3 3 2 0 3 6 2 5 0 9 4 4 3 1 1 7 3 0 1 2 3 8 1 9 7 0 6 8 4 1 6 1 4 0 3 9 7 0 1 9 8 3 7 6 7 9 3 2 0 6 8 3 2 8 2 3 7 6 4 6 4 8 0 4 2 9 5 3 1 1 8 0 2 3 2 8 7 8 2 5 0 9 8 1 9 4 5 5 8 1 5 3 0 1 7 5 6 7 1 7 3 6 1 3 3 2 0 6 9 8 1 1 2 5 0 9 9 \6 1 8 1 8 8 1 5 9 3 0 4 1 6 9 0 3 5 1 5 9 8 8 8 8 5 1 9 3 4 5 8 0 7 2 7 3 8 6 6 7 3 8 5 8 9 4 2 2 8 7 9 2 2 8 4 9 9 8 9 2 0 8 6 8 0 5 8 2 5 7 4 9 2 7 9 6 1 0 4 8 4 1 9 8 4 4 4 3 6 3 4 6 3 2 4 4 9 6 8 4 8 7 5 6 0 2 3 3 6 2 4 8 2 7 0 4 \1 9 7 8 6 2 3 2 0 9 0 0 2 1 6 0 9 9 0 2 3 5 3 0 4 3 6 9 9 4 1 8 4 9 1 4 6 3 1 4 0 9 3 4 3 1 7 3 8 1 4 3 6 4 0 5 4 6 2 5