【正文】 3 1 5 2 0 9 6 1 8 3 6 9 0 8 8 8 7 0 7 0 1 6 7 6 8 3 9 6 4 2 4 3 7 8 1 4 0 5 9 2 7 1 4 5 6 3 5 4 9 0 6 1 3 0 3 1 0 \7 2 0 8 5 1 0 3 8 3 7 5 0 5 1 0 1 1 5 7 4 7 7 0 4 1 7 1 8 9 8 6 1 0 6 8 7 3 9 6 9 6 5 5 2 1 2 6 7 1 5 4 6 8 8 9 5 7 0 3 5 0 3 5 evalf(exp(1),23)。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 68 例 3 求 0a r c s inl imxxx?解 令 a r c s i n xt? 0x ?? 0t ?0a r c s inl imxxx?s i nxt?0l imsinttt??1?用類似的方法可得： 0a r c ta nl im 1xxx??0a r c s i nl i m 1xxx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 69 課內(nèi)練習(xí) 求 l im 2 s in2nnnx??解 l im 2 s in2nnnx??si n2l i m2nnnxxx???? x?《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊 》 48頁 例 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 70 課內(nèi)練習(xí) 求極限 sinl imxxx??解 sinl imxxx??1l im s inxxx????0?無窮小乘以有界函數(shù) 注 sinl imxxx??不是 00型注意：這不是 重要極限 ！ 見教材 48頁，例 8 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 71 with(plots):M:=20: y1:=Pi:y2:=Pi: A:=plot(sin(x)/x,x=0..M,y=y1..y2): B:=plot([1/x,1/x],x=..M,y=y1..y2,color=blue): display(A,B,scaling=unconstrained,thickness=2)。 《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊 》 29頁 例 (1996年數(shù)學(xué)一考研題 ) 《 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo) 》 26頁 例 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 33 在證明之前 我們來作一個小的數(shù)學(xué)實驗 用 EXCEL 計算數(shù)列的若干項 EXCEL程序 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 34 1 3 5 7 911 13 15 17系列1觀察：數(shù)列遞減，無限逼近于 3 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 35 EXCEL很聰明 特別擅長計算歸納定義的數(shù)列 大家不妨試一試 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 36 例 設(shè) 1 10x ? 216xx??4?326xx??10?...16nnxx ???證明數(shù)列 {xn}收斂，并求其極限。 以下準(zhǔn)則表明：有界的單調(diào)數(shù)列一定收斂。 然后得到一些涉及 超越函數(shù) 的極限。 有下界的實數(shù)集必有 下確界 （ 最大下界 ）。 0ta nl im 1xxx??t a n ( 0 )x x x??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 60 例 2 求 201 c o sl i mxxx??解 00型201 c o sl i mxxx??2202 sin2l imxxx??20si n1 2l i m22xxx?????? ??????20si n1 2l i m22xxx?????? ??????21 12?? 12?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 61 201 c o s 1l im2xxx???0 21 c o sl im12xxx?? 1?推論 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 62 with(plots):M:=5: A:=plot(1cos(x),x=M..M,y=..3): B:=plot(x^2/2,x=M..M,y=..3,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 3四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 87 evalf(exp(1),3000)。 1l im s in 1xxx???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 65 si n11l i m 1xxx???0s i nl i m 1xxx??應(yīng)從本質(zhì)上認(rèn)識這個極限 l i m 0? ? s inl im 1????() 0si ()nl im 1()??見 《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊 》 48頁 重要極限的各種形式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 66 例 3 求 0a r c s inl imxxx?解 令 a r c s i n xt?0x ? ? 0t ?0a r c s inl imxxx?0()0型s i nxt?0l imsinttt??1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 67 0a r c s i nl i m 1xxx??( 0 )x ?a r c s i n x x?with(plots):M:=1: y1:=Pi/:y2:=Pi/: A:=plot(arcsin(x),x=M..M,y=y1..y2): B:=plot(x,x=M..M,y=y1..y2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 32 例 設(shè) 1 10x ? 216xx??4?326xx??10?...16nnxx ???證明數(shù)列 {xn}收斂，并求其極限。 方法是： 將 f(x) 適當(dāng)縮小為 g(x)，再適當(dāng)放大為 h(x)， 使得 limg(x) = limh(x) = A（極限要容易求得） 則 limf(x) = A 常用形式： ( ) ( )f x g x?l i m ( ) 0gx ?? l i m ( ) 0fx ?《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊 》 46頁 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 13 例 證明 ： 0l im c o s 1xx??證 0l im c o s 1xx??等價于 0l im ( 1 c os ) 0xx???1 c o s x? 22 s in2x?s i n xx?22 ( )2x?? 212x?201l im2xx?0? 由夾逼準(zhǔn)則 0l im ( 1 c os ) 0xx??? 0l im c os 1x x???21 c o s 2 s in2xx??這是我們證明的第一個三角函數(shù) 的極限 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 14 例 求極限 2 2 2l im ( . . . )2nn n nn n n n? ? ???? ? ?? ? ?解 教材 56頁 , 習(xí)題 4(2) 2 2 2...2nn n nxn n n n? ? ?? ? ? ?? ? ?2nn?nx 2nn?...??2nnn?? 2nnn ???...?nx 1?nn ???l imnnn ??? ?1?l i m 1nn x????2 2 2l i m ( . . . ) 12nn n nn n n n? ? ???? ? ? ?? ? ?適當(dāng)放大 適當(dāng)縮小 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 15 《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊 》 28頁 例 1995年數(shù)學(xué)二考研題 2 2 2l i m ( . . . ) 12nn n nn n n n? ? ???? ? ? ?? ? ?類似的例子： 2 2 212l im ( . . . )12nnn n n n n n n??? ? ?? ? ? ? ? ?自學(xué) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 16 利用夾逼準(zhǔn)則，可以證明下列有用的極限： l i m 1nnn???l i m 1nna??? ( 0)a ?l im 0nnna??? ( 1)a ?《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊 》 25頁 表 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 17 例 證明： l i m 1nnn???證 lim nnn??1lim nnn??? 0()? 型只需證明： l i m ( 1 ) 0nnn????令 1n n? ?? 1n n ??? ( 0 )? ?只需證明： lim 0n ??? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟(jì)大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 18 令 1n n? ?? 1n n ???(1 ) nn ??? 2( 1 )1 . . .2!nnnn ? ? ??? ? ? ? ?( 0 )? ?2( 1 )2!nnn ??? 2 201n????只需證明： lim 0n ??? ?2li m1n n?? ?0? 由夾逼性