【正文】 20si n1 2l i m22xxx?????? ??????20si n1 2l i m22xxx?????? ??????21 12?? 12?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 61 201 c o s 1l im2xxx???0 21 c o sl im12xxx?? 1?推論 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 62 with(plots):M:=5: A:=plot(1cos(x),x=M..M,y=..3): B:=plot(x^2/2,x=M..M,y=..3,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 silinm0xxx???1yx?1yx??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 72 2. 重要極限 1l im (1 ) xx x???1( ) ( 1 ) xfxx??是冪指函數(shù) 1l im (1 ) xx x??? (1 )? 型先考慮數(shù)列極限： 1l im (1 ) nn n???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 73 在證明之前 我們來作一個小的數(shù)學(xué)實驗 用 EXCEL 計算數(shù)列的若干項 EXCEL程序 1( 1 ) nnxn??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 74 觀察：數(shù)列遞增，有上界 3 01231 3 5 7 911 13 15 17 19 21 23 25 27 29系列11 22 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 75 1( 1 ) nnxn?? 21 ( 1 ) 11 . . .2!nnnnn?? ? ? ? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1...! kn n n kkn? ? ?? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1! nn n n nnn? ? ???1 2 2( 1 )()2!( 1 ) ...( ( 1 ) )... ...!n n n nn k k nnna b a na b a bn n n ka b bk????? ? ? ? ?? ? ?? ? ?2( 1 )( 1 ) 12!( 1 ) ...( ( 1 ) )... ...!nknnnb nb bn n n kbbk?? ? ? ? ?? ? ?? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 76 1( 1 ) nnxn?? 21 ( 1 ) 11 . . .2!nnnnn?? ? ? ? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1...! kn n n kkn? ? ?? ? ?( 1 ) . . . [ ( 1 ) ] 1! nn n n nnn? ? ???111 1 ( 1 ) . . .2!nxn? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )!nn n n n?? ? ? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 77 111 1 ( 1 ) . . .2!nxn? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )!nn n n n?? ? ? ?(1) {xn}的單調(diào)性 1111 1 ( 1 ) . . .2 ! 1nxn?? ? ? ? ??1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )! 1 1 1nn n n n?? ? ? ?? ? ?1 1 2( 1 ) ( 1 ) ...( 1 )( 1 ) ! 1 1 1nn n n n? ? ? ?? ? ? ?1nnxx ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 78 (1) {xn}的單調(diào)性 1 ( 1 , 2 , . . . )nnx x n??? {xn}單調(diào)增加 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 79 111 1 ( 1 ) . . .2!nxn? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )!nn n n n?? ? ? ?(2) {xn}的有界性 1 1 11 1 . . .2 ! 3 ! !nxn? ? ? ? ? ?211 1 11 1 . . .2 2 2 n ?? ? ? ? ? ?12 ! ( 2 )n nn? ??111 ( 2 )!2 nnn ???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 80 1 1 11 1 . . .2 ! 3 ! !nxn? ? ? ? ? ?211 1 11 1 . . .2 2 2 n ?? ? ? ? ? ?1121112n????1112??3? ( 1 , 2 , . . . )n ?3是數(shù)列的上界 故 {xn}有界 21 11 . . .1nn qq q qq? ?? ? ? ? ??四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 81 1l i m ( 1 ) nn n????存在 1l im (1 ) nn n???3?且 記 1l im ( 1 ) nnen????2 . 7 1 8 2 8 . . . .e ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 82 eE u le r1 7 0 7 1 7 8 3?Swiss mathematician 1737年， Euler證明： e 是無理數(shù) 1873年， Hermite證明： e 是超越數(shù)（不是代數(shù)方程的解） 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 83 1737年， Euler證明： e 是無理數(shù) 1873年， Hermite證明： e 是超越數(shù)（不是代數(shù)方程的解） In 1748 Leonard Euler found the value of e correct to 23 digits. In 2022 Xavier Gourdon and S. Kondo, using puters, puted e to more than 12 billion decimal places. From Stewart’s Calculus (5th ed.), p765 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 84 In 1748 Leonard Euler used this equation to find the value of e correct to 23 digits. In 2022 Xavier Gourdon and S. Kondo, again using the series, puted e to more than 12 billion decimal places. From Stewart’s Calculus (5th ed.), p765 2022年 Kondo and Yee 將 e 計算到小數(shù)點后 1 trillion (萬億 ) 位。 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 3四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 87 evalf(exp(1),3000)。 59574966967627724076630353547594571382178525166427 evalf(exp(1),1000)。 1l im s in 1xxx???四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 65 si n11l i m 1xxx???0s i nl i m 1xxx??應(yīng)從本質(zhì)上認識這個極限 l i m 0? ? s inl im 1????() 0si ()nl im 1()??見 《 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊 》 48頁 重要極限的各種形式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 66 例 3 求 0a r c s inl imxxx?解 令 a r c s i n xt?0x ? ? 0t ?0a r c s inl imxxx?0()0型s i nxt?0l imsinttt??1?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 67 0a r c s i nl i m 1xxx??( 0 )x ?a r c s i n x x?with(plots):M:=1: y1:=Pi/:y2:=Pi/: A:=plot(arcsin(x),x=M..M,y=y1..y2): B:=plot(x,x=M..M,y=y1..y2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3)。 16nnxx ???? 216nnxx ???對于單減數(shù)列只需說明它有下界 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 39 設(shè) l i m nnxA???16nnxx ???? 216nnxx ???2limnn x?? 1l i m ( 6 )nnx ?????2A 6 A??2 60AA? ? ? ( 3 ) ( 2 ) 0AA? ? ?3A ? 2A ??（舍去） l i m 3nnx????3 是數(shù)列的最大下界 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 September 2022 同濟大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 44