【正文】 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 1 極限存在準則 兩個重要極限 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 2 我們已經(jīng)會計算一些 代數(shù)函數(shù) （如多項式、有理函數(shù)）的極限， 但是還不會計算 超越函數(shù) （如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)）的極限。 本節(jié)將介紹若干極限存在準則，并用它們來建立兩個重要的極限。 然后得到一些涉及 超越函數(shù) 的極限。 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 3 一、極限存在準則 本節(jié)將給出兩個極限存在準則： 夾逼準則 和 單調(diào)有界準則 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 4 準則 I （數(shù)列的 夾逼準則 ） 設(shè)有三個數(shù)列： {}nx {}ny {}nz若它們滿足條件： （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA??? l i m nnzA???則 l i m nnxA???Squeeze Theorem 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 5 示意圖 （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA??? l i m nn zA?? ?則 l i m nnxA???An n ny x z四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 6 （ 1） n n ny x z??( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?（ 2） l im nnyA???則 l i m nnxA???證明 0???l im nnyA????1N? nA y A??? ? ? ?1()nN?l i m nnzA????2N? nA z A??? ? ? ?2()nN?l i m nnzA???An n ny x zA ??A ??1nN?An n ny x zA ??A ??2nN?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 7 l im nnyA????nA y A??? ? ? ? 1()nN?l i m nnzA????nA z A??? ? ? ? 2()nN?0???12m a x { , }N N N??12m a x { , }n N N N???nAy??? nzA ???nx??l i m nnxA????An n ny x zA ??A ??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 8 n n ny x zAB注意：若 則不能形成夾逼： l i m nnyA???? l i m nn zB?? ??l im nnx??可 能 不 存 在 ！四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 9 準則 I’ （函數(shù)的 夾逼準則 ） 設(shè)在 x0 的某個去心鄰域內(nèi)有 ( 1 ) ( ) ( ) ( )g x f x h x??00( 2 ) l i m ( ) l i m ( )x x x xg x h x A????則 0l i m ( )xxf x A??這個結(jié)論稱為 夾逼準則 This theorem is called the Squeeze Theorem. 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 10 0x()fxA()gx()hxGeometrical interpretation of the Squeeze Theorem 0l i m ( )xxf x A??)( )) ((fxgx hx??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 11 The Squeeze Theorem is also known as the Sandwich Theorem. ()fx()hx()gxThe Sandwich Theorem 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 12 利用夾逼準則，我們可以求一些困難的極限。 方法是： 將 f(x) 適當縮小為 g(x)，再適當放大為 h(x)， 使得 limg(x) = limh(x) = A（極限要容易求得） 則 limf(x) = A 常用形式： ( ) ( )f x g x?l i m ( ) 0gx ?? l i m ( ) 0fx ?《 高等數(shù)學學習手冊 》 46頁 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 13 例 證明 ： 0l im c o s 1xx??證 0l im c o s 1xx??等價于 0l im ( 1 c os ) 0xx???1 c o s x? 22 s in2x?s i n xx?22 ( )2x?? 212x?201l im2xx?0? 由夾逼準則 0l im ( 1 c os ) 0xx??? 0l im c os 1x x???21 c o s 2 s in2xx??這是我們證明的第一個三角函數(shù) 的極限 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 14 例 求極限 2 2 2l im ( . . . )2nn n nn n n n? ? ???? ? ?? ? ?解 教材 56頁 , 習題 4(2) 2 2 2...2nn n nxn n n n? ? ?? ? ? ?? ? ?2nn?nx 2nn?...??2nnn?? 2nnn ???...?nx 1?nn ???l imnnn ??? ?1?l i m 1nn x????2 2 2l i m ( . . . ) 12nn n nn n n n? ? ???? ? ? ?? ? ?適當放大 適當縮小 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 15 《 高等數(shù)學學習手冊 》 28頁 例 1995年數(shù)學二考研題 2 2 2l i m ( . . . ) 12nn n nn n n n? ? ???? ? ? ?? ? ?類似的例子： 2 2 212l im ( . . . )12nnn n n n n n n??? ? ?? ? ? ? ? ?自學 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 16 利用夾逼準則，可以證明下列有用的極限： l i m 1nnn???l i m 1nna??? ( 0)a ?l im 0nnna??? ( 1)a ?《 高等數(shù)學學習手冊 》 25頁 表 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 17 例 證明： l i m 1nnn???證 lim nnn??1lim nnn??? 0()? 型只需證明： l i m ( 1 ) 0nnn????令 1n n? ?? 1n n ??? ( 0 )? ?只需證明： lim 0n ??? ?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 18 令 1n n? ?? 1n n ???(1 ) nn ??? 2( 1 )1 . . .2!nnnn ? ? ??? ? ? ? ?( 0 )? ?2( 1 )2!nnn ??? 2 201n????只需證明： lim 0n ??? ?2li m1n n?? ?0? 由夾逼性 2li m 0n???? lim 0n ??? ? l im 1nnn????四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 19 課內(nèi)練習 01l i m [ ] 1xxx???1[]x1 1x?? 1x?1[]xx1( 1 )xx? ? ? 1xx??1 x?? 1?0l im (1 )xx???1?01l i m [ ] 1xxx???由夾逼準則 教材 57頁 習題 4(5) 1 [ ]x x x? ? ?01l im [ ] ?xxx???思考： 利用夾逼準則證明： 提示 利用不等式 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 20 《 高等數(shù)學學習手冊 》 46頁 例 1[]yxx?01l i m [ ] 1xxx???01l i m [ ] 1xxx???01l im [ ] 1xxx??課外作業(yè)： 證明： 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 21 我們知道：收斂數(shù)列一定是有界數(shù)列， 但是有界數(shù)列不一定收斂。 以下準則表明：有界的單調(diào)數(shù)列一定收斂。 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 22 準則 II （數(shù)列的 單調(diào)有界準則 ） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 。 觀察： 122,33,4,1nn ?,... ,...{}1nn ?單調(diào)遞增 有上界 最小上界： sup 1nx ?極限： l i m1nnn?? ?1? supnx?上確界 supremum 四川大學數(shù)學學院 徐小湛 September 2022 同濟大學 《 高等數(shù)學 》 第六版 極限存在準則 兩個重要極限 23 設(shè) {xn}是遞增數(shù)列 ： 1 2 3 1. . . . . .nnx x x x x?? ? ? ? ? ?且 {xn}有上界： M?nxM? ( 1 , 2 , 3 , . . . )n ?則 {xn}收斂，且 l i m nnxA??? sup nx?M?準則 II （數(shù)列的 單調(diào)有界準則 ） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 。 最小上界