【文章內容簡介】 MNMNN????????????? 極點與零點 ?例 :20 求傳輸函數(shù) ? 的數(shù)字濾波器的極點和零點 ?解 : ? 化為標準形式 : 2112944)(?????? zzzzH4)(22 ?????? zzzzzzzH 極點與零點 ? 用二次公式分解分母多項式 ,得 : ? 因此 : ? 通過傳輸函數(shù)可以方便得確定極點和零點 ,對此濾波器 ,在 z=0處有一個零點 , ? 兩個極點分別是 z= z=2 )1(2)()1( 2 或???????z)2)(()( ??? zzzzH 極點與零點 ? 標準式傳輸函數(shù)分子分母多項式都可以進行分解 ,有 : ? 其中 K稱為濾波器的增益， zj是濾波器的零點， pj是濾波器的極點。 ? 對數(shù)字濾波器分析和設計有用的工具稱為 z平面，可以在上面標出傳輸函數(shù)的極點和零點。 ? 在 z平面中用“ ╳ ”表示極點，“ ○ ” 表示零點 )())(()())(()(2121NMpzpzpzzzzzzzKzH????????? 極點與零點 ?例 :21 對傳輸函數(shù) ? 求解并畫出極零點 ?解 : ? 化為標準形式 : 21 1)(?? ??? zzzH1 8 8 )( 2222?????? zzzzzzzH 極點與零點 ? 零點位于 z2=0處 ,有兩個零點 ,都位于 z=0。由二次公式可求出極點 40 281 )1(2)18 ()1(428 2jjz????????????? 極點與零點 ╳ ╳ ○ (2) 1 0 1 1 0 1 實部 虛部 極點與零點 ?例 22 數(shù)字濾波器的零點為 z= z=,極點為 z=177。 ,增益為 , ? a、畫出濾波器的極 零點圖 ? b、求濾波器的傳輸函數(shù) ?解： ? a、極零點圖如下： 1 0 1 1 0 1 ╳ ╳ ○ 實部 虛部 ○ 極點與零點 ? b、每個零點產生傳輸函數(shù)分子的一個因子，每個極點產生傳輸函數(shù)分母的一個因子，則傳輸函數(shù)為 ))())((()))((()())(()())(()(2121jzjzzzpzpzpzzzzzzzKzHNM??????????????????? 極點與零點 ? 化簡得傳輸函數(shù)： 21212222)()())(()(???????????????????zzzzzzzzzzzzH 穩(wěn)定性 ?單位圓：以 z平面的原點為圓心半徑為 1的圓。 ? 系統(tǒng)的所有極點都在單位 圓內 ，則濾波器是穩(wěn)定； ? 若單位圓上有極點，則濾波器是臨界穩(wěn)定 ? 單位 圓外 有極點，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 ?數(shù)學上這個區(qū)域可表示為： 1?z 穩(wěn)定性 穩(wěn)定性 ?如果每個極點的模值都小于 1，也就是極點到單位圓中心的距離小于 1，則濾波器穩(wěn)定的。 ?穩(wěn)定傳輸函數(shù)的收斂域必須 包括 單位圓 穩(wěn)定性 ?例 23 數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為： ? 判斷其穩(wěn)定性 ?解： ? 化為標準式為： 2121)(???????zzzzH1)(22????zzzzH 穩(wěn)定性 ? 零點位于 z21=0即： z=177。 1， ? 極點位于 2)1(2)()1(2jjz????????????? 穩(wěn)定性 ?對于這些極點，到單位圓圓心的距離為： ?因為該距離小于 1，兩個極點都在單位圓內，所以系統(tǒng)穩(wěn)定 )()( 22 ????z 穩(wěn)定性 ?例 24 濾波器的差分方程為 ： ? 判斷濾波器的穩(wěn)定性 ?解： ? 極點可以很容易從傳輸函數(shù)： ]2[]2[]1[][ ?????? nxnynyny1)( 2212?????? ???zzzzzzH 穩(wěn)定性 ? 得到，二次式給出極點位置為： ? 此例中極點為純實部沒有虛部，顯然極點 z=，故系統(tǒng)不穩(wěn)定 4 3 3 20 5 )1(2)()1( 2?????????????和z 一階系統(tǒng) ?一階系統(tǒng)就是系統(tǒng)僅有一個極點。簡單的一階系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為： ?由于只有一個極點 z=α，穩(wěn)定性要求 lαl1 ?對應的脈沖響應為： ?? ???? ? zzzzH 111)(][)(][ nunh n??? 一階系統(tǒng) ?lαl1時，脈沖響應隨著 n的增加無限增長，只要 lαl1，脈沖響應就趨與零。 ?此一階系統(tǒng)的差分方程為： ?階躍響應穩(wěn)態(tài)趨于一個常數(shù) yss，因為輸入階躍函數(shù)為常數(shù) 1，可以求得最終得穩(wěn)定值。 ][]1[][ nxnyny ??? ? 一階系統(tǒng) ?穩(wěn)態(tài)時，差分方程為： ?求得： 1?? ssss yy ?)1(1???ssy 一階系統(tǒng) 一階系統(tǒng) ?例 25 濾波器得傳輸函數(shù)為 ? a、求出其極點零點，并判斷穩(wěn)定性 ? b、求出濾波器的脈沖響應 ? c、求出濾波器的階躍響應 ?解： ? a、為了得到極零點，首先將其表示為標準式 2)(??? zzH 一階系統(tǒng) ? 在 z=0處有一個單零點， z=，極點在單位圓內，所以濾波器穩(wěn)定 22)(1 ???? ? zzzzH 一階系統(tǒng) ? b 、脈沖輸入的 z變換 X(z)=1則輸出 Y(z)為： ? 由表得逆 z變換為： 2)()()(??? zzzXzHzY][)(2][][ nunhny n???? 一階系統(tǒng) ? c、階躍輸入的 z變換為 X(z)=z/(z1 ) ,輸出為 ? 因此階躍響應為 ?????????????????????????????????????????????????????1710710175752)(2)1)((122)()()(222zzzzzzzzzBzAzzzzzzzzzXzHzY]1[710]1[)(710][][ 1 ???????? ? nununsny n 一階系統(tǒng) ? 此濾波器的差分方程為 :y[n]+[n1]=2x[n], ? 因此輸入階躍函數(shù) x[n]等于 1,故最后的穩(wěn)態(tài)輸出可以由 yss+ =2,得出 4 2 2 ?? 一階系統(tǒng) 二階系統(tǒng) ?簡單得二階系統(tǒng)得傳輸函數(shù)為 : ? p1， p2是傳輸函數(shù)的兩個極點，這個特定的二階系統(tǒng)中在 z=0處有 2個零點。 ))((11)(2122221 pzpzzzzzzzzH ????????? ?? ???? 二階系統(tǒng) ?只要兩個極點都在 z平面單位圓內，系統(tǒng)就穩(wěn)定。要求 lp1l1，且 lp2l1。 ?二階差分方程為 : ][]2[]1[][ nxnynyny ????? ?? 二階系統(tǒng) ?例 26 二階系統(tǒng)極點為 z=177。 ,無零點 ,增益 1 ? a、系統(tǒng)是否穩(wěn)定？ ? b、求系統(tǒng)的傳輸函數(shù) ?解： ? a、極點模值為： ? 極點處于單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定 22 ??? 二階系統(tǒng) ? b、傳輸函數(shù)為 2122221)()(1))())(((1)(?????????????????zzzzzzjzjzzH 二階系統(tǒng) ?例 27 求傳輸函數(shù) ? 的零點和極點，并確定極點模值 ?解： ? 傳輸函數(shù)沒有零點，由二次公式得： 212)( ?????? zzzzH )(4)(2????????z 二階系統(tǒng) ? 極點為 z=， z=， ? 第一個極點得模值為： ? 第二個極點得模值為： ? 因此系統(tǒng)穩(wěn)定 )0()( 22 ??