【文章內(nèi)容簡介】 erf(x) 1erf(x)為互補誤差函數(shù) ， 記為 erfc(x), 即 ? ? ? ? dtexe r fxe r fcxt? ? ???? 221?互補誤差函數(shù) erfc(x)是 自變量的遞減函數(shù) ， erfc(0)=1，erfc(∞)=0， 且 erfc(x)=2erfc(x)。 當(dāng) x1時 （ 實際應(yīng)用中只要x＞ 2)即可近似有： 21)( xexxe r fc ???37 （ 2） 概率積分函數(shù)和 Q函數(shù) 。 概率積分函數(shù)定義為 ? ? 0,21x 2/2 ??? ? ?? ? xdtex t? Q函數(shù)是一種經(jīng)常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數(shù) ，其定義： 0,21)(1)( 2/2 ????? ? ? ? xdtexxQ x t? 正態(tài)分布函數(shù)和概率積分函數(shù)的關(guān)系： ? ? )(21 2/2 ?? ? axdtexF ax t ???? ? ????38 用誤差函數(shù)或互補誤差函數(shù)表示 F(x)的好處是 :它簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能 。 ? ?????????????)2(211)2(2121??axe r f caxe r fxF39 隨機過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后，輸出過程將是什么樣的過程？ 這里 ， 我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況 。 隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析 ， 完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的 。 線性系統(tǒng)的響應(yīng) y(t)等于輸入信號 x(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t)的卷積，即 ? ? ? ? ? ? ??? dthxthtxty )()( ???? ? ???將線性系統(tǒng)輸入信號 x(t)換成隨機過程 X(t)，則輸出信號則為隨機過程 Y(t)，即 40 ? ? ? ? ? ? ??? dthXthtXtY )()( ???? ? ???將線性系統(tǒng)輸入信號 x(t)換成隨機過程 X(t)，則輸出信號 y(t)變?yōu)殡S機過程 Y(t)，即 41 1. 輸出隨機過程 Y(t)的均值 設(shè) E[X(t)]∞， 且系統(tǒng)穩(wěn)定 ? ? ? ?? ?? ?? ?0)()()()()(HmdhmdhtXEdhtXEtYEtmXXY?????????????????????????????????H(0)=? 42 2. 輸出隨機過程 Y(t)的自相關(guān)函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ???YXXYRd v d uvhuhvuRd v d uvhuhvuttRd v d uvhuhvtXutXEdvvhvtXduuhutXEtYtYEttR???????????????????????????? ?? ?? ???????????????????????????)()()()()()()()()()()()(,1221212121結(jié)論：平穩(wěn)隨機過程 ！ 為什么 ？ 43 3. X(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?????XYXXXXYRhRduuhuRduuhtutRduuhutXtXEduuhutXtXEtYtXEttR???????????????????????????????????)()()()()()()(,1221212121定義： X(t)和 Y(t)的互功率譜密度是其互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換 44 定義： X(t)和 Y(t)的互功率譜密度是其互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換 ， 即： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? HPhRFRFP XXXYXY ????4. Y(t)的功率譜密度 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????????????XXjXvjujvujXjXjYYPHPHHdeRdveuhdueuhd v d udevuRuhuhded v d uvhuhvuRdeRP2)()(??????????????????????????????????????????????????????? ? ?? ? ?? ? ??＝令45 十分有用的一個重要公式 ！ 想得到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)Ro(τ) 時 ， 比較簡單的方法：先計算出功率譜密度 Po(ω) ， 然后求其反變換 ， 這比直接計算 Ro(τ) 要簡便得多 。 例題： 帶限白噪聲 。 試求功率譜密度為 n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度 、 自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率 。 理想低通的傳輸特性為 ? ???? ??其他00HtjKeH ????46 解： ? ?????? ???其他0220020HnnKnHPPi???? ?????????????????HHjjnSaKndeKndePRHH2221)(21)(20020000?????????47 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù) fOPo( ? )?ORo( ?? )fH－ fHn02K0212 fH－12 fHK0n0 fH248 ωH=2πfH。 由此可見 ， 帶限白噪聲只有在 τ=k/2fH (k=1, 2, 3, … )上得到的隨機變量才不相關(guān) 。 它告訴我們 ， 如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話 ， 則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量 。 這是一個很重要的概念 。 5. 輸出過程 Y(t)的概率密度 帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù) Ro(τ) 在 τ= 0 處有最大值 ， 這是帶限白噪聲的平均功率 ! 結(jié)論： (1)若 X(t)是正態(tài)隨機過程 ， Y(t)也是正態(tài)隨機過程 (2)若 X(t)的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬 ， 則 Y(t)趨于高斯過程 （ 正態(tài)過程 ） 49 ? ? ??? dtXhtY )()( ?? ? ???據(jù)此可以確定輸出過程的分布 。 如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的 ， 則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的 。 輸出過程在任一時刻得到的每一隨機變量 ， 都是無限多個高斯隨機變量之和 。 由概率論得知 ， 這個 “ 和 ” 的隨機變量也是高斯隨機變量 。 這就證明 ， 高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍然為高斯過程 注意 ：由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。 50 信號在信道中傳輸時 ， 常會遇到這樣一類噪聲 ， 它的 功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)： ? ? 20nP ??)(2)( 0 ??? nR ?高斯白噪聲 這種噪聲被稱為白噪聲， 它是一個理想的寬帶隨機過程。 式中 n0為一常數(shù)，單位是瓦 /赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即 51 高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間 ， 不僅是互不相關(guān)的 ， 而且還是統(tǒng)計獨立的 。 應(yīng)當(dāng)指出 ， 我們所定義的這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的 。 但是 ， 如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶 ， 我們就可以把它視為白噪聲 。 這說明，白噪聲只有在 τ=0時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。 如果白噪聲又是高斯分布的， 我們就稱之為高斯白噪聲。 理論分析的重要模型 52 窄帶隨機過程的定義： 隨機過程通過以 fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出 ， 即是窄帶隨機過程 。 所謂窄帶系統(tǒng) ， 是指其通帶寬度 Δ ffc， 且 fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng) 。 實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程。如用示波器觀察一個實現(xiàn)的波形，則如圖所示，它是一個頻率近似為 fc，包絡(luò)和相位隨機緩變的正弦波。 53 圖 26 窄帶過程的頻譜和波形示意 fcOS ( f )? f ? ffcf( a )tOS ( t )緩 慢 變 化 的 包 絡(luò) [ a ( t ) ]頻 率 近 似 為 fc( b )54 窄帶隨機過程的表示式 (3種 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ttXttXtttatttatXcscccc??????s i nc oss i ns i nc osc os)2(????? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ??????tXjtXtZetXtZtX tjL c?ReRe)3(? ? ? ? ? ?? ?tttatX c ?? ?? c o s)1(? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的相位：的正交分量，的包絡(luò)：的同相分量，tXttXttatXtXtatXttatXsc???