[理學(xué)]概率論第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(編輯修改稿)
2025-02-15 14:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 乘客由甲地到乙地所須的時(shí)間 ,則 18 20Z X Y? ? ? ?~ [ 0 , 4 ]XU ( ) 2EX??~ [ 0 , 6] ,YU 則 E(Y)=3( ) ( ) ( ) 18 20E Z E X E Y? ? ? ? ?4 3( )? 分返回 例 一工廠班車載有 20位職工自工廠開出 ,中途有 10個(gè)車站可以下車 .在每一個(gè)車站如沒有人下車便不停車 .設(shè)每位職工等可能地在各個(gè)車站下車 ,并設(shè)各人是否下車相互獨(dú)立 ,以 X表示停車次數(shù) ,求 E(X). 解 : 引入計(jì)數(shù)隨機(jī)變量 0 ( 1 , 2 1 0 )1iiXii?????在 第 個(gè) 車 站 沒 有 人 下 車在 第 個(gè) 車 站 有 人 下 車101iiXX?? ?顯 然20 20( ) 0 0. 9 1 ( 1 0. 9 )iEX ? ? ? ? ?20( 0) 0. 9iPX ?? 20( 1 ) 1 ? ? ?101( ) ( )iiE X E X??? ? 2022 ( 1 ) ( )? ? ? ? 次返回 第 二 節(jié) 方差 一、方差的定義 定義 設(shè) X是一隨機(jī)變量 , 若 E(XEX)2存在 , 則稱 E(XEX)2為 X的方差 . 記為 D(X) , 稱 為 X的均方差 .(或標(biāo)準(zhǔn)差 ) DX注 意 : 由方差的定義可知 ,X的方差就是 X的函數(shù)Y=(XEX)2的數(shù)學(xué)期望 ,故求期望的公式可用來求方差 . 2( ) ( )D X E X EX??即返回 [例 ] 設(shè) X服從 (01)分布 ,求 DX. 解 : E X p?pq?{ 0 } , { 1 } ( 1 )P X q P X p q p? ? ? ? ? ?DX?2()E X p??2()E X EX??22( 0 ) ( 1 )p q p p? ? ? ? ? ?返回 [例 ] 設(shè) ),(~ 2??NX 求方差 D(X). 解 : ?????????EXexfx,2 1)( 222)(?2()E X EX??2()EX ???)xt ????(令222 22tt e dt???????? ?222[]2ttte e d t?????????? ??? ? ? ?2??22()2 21()2xx e dx??????????????DX?222()2ttd e???? ??????返回 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X??易 證2: ( ) [ ( ) ]D X E X E X??證 明22{ 2 ( ) [ ( ) ] }E X X E X E X? ? ? ?22( ) 2 ( ) ( ) [ ( ) ]E X E X E X E X? ? ? ?22( ) [ ( ) ]E X E X??返回 ~ ( ) , ( ) .PD? ? ?例 設(shè) 求: ( )E ???解220() kkE k p???? ?0[]( 1 ) kkkkk p??????00( 1 ) kkkkp kkk p?????????2 ( 2 ) !kkek??????????20 !iiei? ????????? 2??????22( ) [ ( ) ]EE???? 22()E ????()D ?2)ik??(令()!kkepk?? ??返回 0 ~ [ , ] , ( ) .U a b D??例 設(shè) 求() 2abE ? ??22( ) ( )E x f x d x? ????? ? 2 1bax dxba? ??221 ()3 a a b b? ? ?22( ) [ ( ) ]EE????2 2 21 ( ) ( )32aba a b b ?? ? ? ? 2()12ab??解 : ()D ?返回 [例 ]設(shè) X服從參數(shù)為 λ的指數(shù)分布 ,求 X的方差與均方差 . 解 : 22??1EX??22( ) ( )E X x f x d x????? ? 20xx e d x?????? ? 20 ()xx d e ??? ????20 0( ) 2xxx e x e d x?? ??? ? ? ?? ? ? ?012 ( )xx d e ???? ???? 0022xxx e e d x??????? ? ? ?? ? ? ?022 xe ??? ? ???DX? 22( ) ( )E X E X?? 2221()???? 21??返回 二、方差的性質(zhì) 設(shè) X, Y和 Xi(i=1,2,… n)是隨機(jī)變量 ,a,b,c是常數(shù) ,則方差具有下列性質(zhì) : ????? ni ini iDXXD11)((1) ( ) 0Dc ?2( 2) ( ) ( )D aX b a D X??( 3 ) ( ) ( ) ( ) 2 { [ ( ) ] [ ( ) ] }D X Y D X D Y E X E X Y E Y? ? ? ? ? ?, , ( ) ( ) ( )X Y D X Y D X D Y? ? ?特 別 地 當(dāng) 與 獨(dú) 立 時(shí)12: , ,nX X X推 廣 當(dāng) 相 互 獨(dú) 立 時(shí) 有2, ( ) ( )D aX a D X?特 別 地返回 證明 (3) 22( ) ( ) [ ( ) ]D X Y E X Y E X Y? ? ? ? ?2()EY?2 2 2( 2 ) [ ( ) ( ) ]E X X Y Y E X E Y? ? ? ? ?2()EX?2 ( )E XY?2[ ( )]EY?2[ ( )]EX?2 ( ) ( )E X E Y()DX? ()DY? 2 [ ( ) ( ) ( ) ]E XY E X E Y??( ) ( ) 2 [ ( ) ] [ ( ) ]D X D Y E X E X Y E Y? ? ? ? ?當(dāng) X,Y 獨(dú) 立 時(shí) ,E(XY)=E(X)E(Y)( ) ( ) ( )D X Y D X D Y? ? ?返回 [例 ] 設(shè) X~B(n ,p)求 DX 解 1: 0niiip??np220niiE X i p?? ?2 2 ( 2 ) ( 2 )2( 1 ) ( 2 ) !( 2 ) ! [ ( 2 ) ( 2 ) ] !ni n iin n n p p qi n i? ? ? ??????? ? ? ??np20[ ( ) ]niii i i p?? ? ??()EX0( 1 )niii i p?? ? ??2( 1 )ni i n inii i C p q ??? ? ??2!( 1 )! ( ) !ni n iini i p qi n i??? ? ??? npnp22( ) ( )E X E X??()DXnpq?2 2 2 ( 2 ) ( 2 )22( 1 )ni i n inin n p C p q? ? ? ? ???? ? ??2( 1 )n n p? ? ?返回 解 2: 1( 1 , 2 )0iiX i ni?????在 第 次 試 驗(yàn) 中 A 發(fā) 生令在 第 次 試 驗(yàn) 中 A 不 發(fā) 生121,.niniX X X X X?? ?顯 然 且 相 互 獨(dú) 立~ ( 0 1 ) , ( ) ( 1 , 2 )iiX D X pq i n? ? ?而1()niD X p q n
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