第二章隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征(編輯修改稿)
2025-08-23 23:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 以此代入的計(jì)算式即得二、隨機(jī)變量函數(shù)的分布及數(shù)學(xué)期望1）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布列設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，分布列為 , k＝1, 2, …則當(dāng)Y＝g(X)的所有取值為(j＝1, 2, …)時(shí)，隨機(jī)變量Y有如下分布列：, j＝1, 2, …其中是所有滿足的對(duì)應(yīng)的X的概率的和，即例15 設(shè)離散型隨機(jī)變量X有如下分布列，試求隨機(jī)變量的分布列。X 1357P解Y的所有可能取值為1，5，17。故Y的分布列為Y1517P2）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1)一般方法 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，(165。x+165。), Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù)，則Y的分布函數(shù)為。從而Y的概率密度函數(shù)為例16 設(shè)隨機(jī)變量求Y=3X+5的概率密度。解 先求Y=3X+5的分布函數(shù)。Y的概率密度函數(shù)為例17 設(shè)X~U(1,1),求的分布函數(shù)與概率密度。解當(dāng)y0時(shí)， ；當(dāng)y≥1時(shí)；當(dāng)0≤y1時(shí)。(2）公式法一般地, 若是嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則 其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù)。注：只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)；注意定義域的選擇。例18 設(shè)X ～U(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(a≠0)解 Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為，故 ，而，所以 。補(bǔ)充定理：若g(x)在不相疊的區(qū)間上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)分別為均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為例19若，計(jì)算的密度函數(shù)。解：分段單調(diào)，在中反函數(shù)而在中反函數(shù)為故的密度函數(shù)為即。 設(shè)已知隨機(jī)變量X 的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X 的某個(gè)函數(shù)g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？定理 設(shè)( g為連續(xù)函數(shù) )⑴ 設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 則g(X) 的數(shù)學(xué)期望為。⑵ 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為,若絕對(duì)收斂，則g(X) 的數(shù)學(xué)期望為 注：該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求E[g(X )]時(shí),不必知道g ( X )的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便。例20 設(shè)隨機(jī)變量，求E(Y).解 ，分布列為 其中p+q=1例21設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為，求 E ( 1 / X )。解：三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，則E(C)=C. ，E(aX)=aE(X)．，有 。四、隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1）引例 甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同一種機(jī)軸，軸的直徑為10mm，，超出范圍的均為廢品?，F(xiàn)從甲乙兩機(jī)床的產(chǎn)品中各隨機(jī)地抽取6件進(jìn)行測(cè)試，機(jī)軸的直徑的測(cè)試尺寸如下：(mm)甲 乙 易知，但兩組的質(zhì)量顯然差異很大，甲組全為合格品，乙組全為廢品。這里光看均值無差別，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程度不同。甲組離散程度小，質(zhì)量較穩(wěn)定，乙組的離散程度大，質(zhì)量不穩(wěn)定。 為衡量一個(gè)隨機(jī)變量X關(guān)于均值的離散程度，可用|XEX|的均值來表示，稱為X的絕對(duì)離差，記作E|XEX|，這在實(shí)際統(tǒng)計(jì)中有一定的作用。但由于絕對(duì)值得均值不易計(jì)算，常用隨機(jī)變量與均值差的平方的均值來描述離散程度。2）定義 若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，則稱為隨機(jī)變量X的方差，記為稱方差的正平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為或。注：在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式3）例子例22 已知隨機(jī)變量X的分布列如下，求D(X)。 解 數(shù)學(xué)期望E(X)=7/8。例23 設(shè)隨機(jī)變量，求D(X)。解 。性質(zhì)1 ,其中c為常數(shù)。性質(zhì)2 是常數(shù)。性質(zhì)3（方差最小性）X為隨機(jī)變量，方差存在，則對(duì)任意不等于EX的常數(shù)C,都有證明 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有由于，所以故五、隨機(jī)變量的矩和切比雪夫不等式1．原點(diǎn)矩與中心矩1）若存在，則稱為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩，簡稱k階矩(k=1,2,…)，而稱為X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩；2）若存在，則稱為隨機(jī)變量X的k階中心矩(k=1,2,…)，而稱為X的k階絕對(duì)中心矩。注：一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望；X的二階中心矩就是X的方差。例24解：令
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