【文章內(nèi)容簡介】 2009泰安）如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90176。，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F。（1） 求證：FD2=FB●FC。（2） 若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由?！娟P(guān)鍵詞】相似、垂直【答案】證明：（1）∵E是Rt△ACD斜邊中點(diǎn)∴DE=EA∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2∴∠1=∠A…∵∠FDC=∠CDB+∠1=90176。+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90176。+∠A∴∠FDC=∠FBD∵F是公共角∴△FBD∽△FDC∴∴ （2）GD⊥EF理由如下：∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，∴DG=GC∴∠3=∠4由（1）得∠4=∠1∴∠3=∠1 ∵∠3+∠5=90176?！唷?+∠1=90176?！郉G⊥EF （2009年中山）正方形邊長為4，、分別是、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持和垂直，（1）證明：；（2）設(shè)，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形面積最大，并求出最大面積；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，求的值．【關(guān)鍵詞】相似三角形有關(guān)的計(jì)算和證明【答案】（1）在正方形中，，．在中，，．（2），，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為10．（3），要使，必須有，由（1）知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)．（2009年牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若、的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，且 （1）求的值． （2）若為軸上的點(diǎn)，且求經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷與是否相似？ （3）若點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線上是否存在點(diǎn)使以、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．xyADBOC【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)，一次函數(shù)，菱形，相似三角形的綜合應(yīng)用【答案】（1）解得 在中，由勾股定理有（2）∵點(diǎn)在軸上，由已知可知D（6，4）設(shè)當(dāng)時(shí)有解得同理時(shí)，在中，在中，（3）滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)(2009年寧德市)如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數(shù)，并說明理由；NMBECDFG圖（1）（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數(shù)），E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上．判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小是否總保持不變，若∠FCN的大小不變，請用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發(fā)生改變，請舉例說明．【關(guān)鍵詞】四邊形中三角形全等和相似的運(yùn)用解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形 ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90186?！唷螧AE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD∴∠BAE＝∠DAG∴△ BAE≌△DAG MBEACNDFG圖（1）H（2）∠FCN＝45186。 理由是：作FH⊥MN于H ∵∠AEF＝∠ABE＝90186。 ∴∠BAE +∠AEB＝90186。，∠FEH+∠AEB＝90186。 ∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90186?！唷鱁FH≌△ABE ∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH∵∠FHC＝90186。，∴∠FCH＝45186。 （3）當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小總保持不變， 理由是：作FH⊥MN于H 由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90186。結(jié)合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG又∵G在射線CD上∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90186。 ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴＝＝∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝ ∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN＝（09湖南懷化）如圖11，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)為．設(shè)的外接圓的圓心為點(diǎn)．（1）求與軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如果恰好為的直徑，且的面積等于，求和的值． 【關(guān)鍵詞】圓的基本性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)【答案】解 （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為由題設(shè)可知是方程即 的兩根，所以，所如圖3，∵⊙P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，連結(jié)DB，∴△AOC∽△DOC，則由題意知點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）（2）因?yàn)锳B⊥CD， AB又恰好為⊙P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即又，所以解得（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點(diǎn)A與邊DC上的動(dòng)點(diǎn)P重合(P不與點(diǎn)D，C重合)， MN為折痕，點(diǎn)M，N分別在邊BC， AD上，連接AP，MP，AM， AP與MN相交于點(diǎn)F．⊙O過點(diǎn)M，C，P．(1)請你在圖1中作出⊙O(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)與 是否相等？請你說明理由；(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，若⊙O與AM相切于點(diǎn)M時(shí)，⊙O又與AD相切于點(diǎn)H．設(shè)AB為4，請你通過計(jì)算，畫出這時(shí)的圖形．(圖2，3供參考) 圖1 圖2 圖3【關(guān)鍵詞】矩形的性質(zhì)與判定、線段的比和比例線段【答案】解：(1)如圖； (2)與不相等．假設(shè)，則由相似三角形的性質(zhì)，得MN∥DC． ∵∠D=90176。，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．∵據(jù)題意得，A與P關(guān)于MN對稱，∴MN⊥AP．∵據(jù)題意，P與D不重合，∴這與“過一點(diǎn)（A）只能作一條直線與已知直線（MN）垂直”矛盾． ∴假設(shè)不成立．∴不成立． (2) 解法2：與不相等．理由如下：∵P， A關(guān)于MN對稱，∴MN垂直平分AP．∴cos∠FAN=． ∵∠D=90176。， ∴cos∠PAD=．∵∠FAN=∠PAD，∴=．∵P不與D重合，P在邊DC上?！郃D≠AP．∴≠。從而≠． (3)∵AM是⊙O的切線，∴∠AMP=90176。，∴∠CMP＋∠AMB=90176。．∵∠BAM＋∠AMB=90176。，∴∠CMP=∠BAM．∵M(jìn)N垂直平分，∴MA=MP，∵∠B=∠C=90176。， ∴△ABM≌△MCD． ∴MC=AB=4， 設(shè)PD=x，則CP=4－x，∴BM=PC=4－x． (5分)連結(jié)HO并延長交BC于J．∵AD是⊙O的切線，∴∠JHD=90176。．∴矩形HDCJ． (7分)∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， ∴OJ:CP=MO:MP=1:2，∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)． ∵M(jìn)C2= MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16． 解得:x=1．即PD=1，PC=3，∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．由此畫圖(圖形大致能示意即可)． （3）解法2：連接HO，并延長HO交BC于J點(diǎn)，連接AO． 由切線性質(zhì)知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，∴OJ⊥MC，∴MJ=JC． ∵AM，AH與⊙O相切于點(diǎn)M，H，∴∠AMO=∠AHO=90176。，∵OM=OH， AO=AO，∴Rt△AMO≌Rt△AHO． ∴設(shè)AM=x，則 AM=AH=x，由切線性質(zhì)得，AM⊥PM，∴∠AMP=90176。，∴∠BMA+∠CMP=90176。．∵∠BMA+∠BAM=90176。，∴∠BAM=∠CMP ，∵∠B=∠MCP=90176。，∵M(jìn)N為AP的中垂線，∴AM=MP．∴△ABM≌△MCP ． ∴四邊形ABJH為矩形，得BJ=AH=x，Rt△ABM中，BM=，∴MJ==JC，（9分）∴AB=MC．∴4=2()，∴ ∴AD=BC==7，∴PC==3． 由此畫圖(圖形大致能示意即可)．（2009